学科本质——课程统整的核心线索（二）

刚才，周老师介绍了对数学基本概念的理解和和对数学思想方法的把握这两项数学学科本质，并结合了具体的实例介绍了相关策略。我接着周老师的话题接着介绍课程统整的核心线索——学科本质。

数学学科本质三：对数学特有思维方式的感悟。

每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，数学是一门语言精确、抽象性、逻辑思维性强的学科。数学的学科特性决定了数学是培养学生思维严密性、抽象性的最好途径。这也使数学享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。

我们知道在小学数学学习中，不仅广泛应用了一些思维过程：分析—综合、概括—抽象、归纳—演绎、猜测—验证等；并且充分运用了概念、判断、推理、类比等思维形式。现代科学技术发展的一个明显的特征就是——数学思维正在渗透到各个领域，生活在当代社会的每一个公民，如果吧具备一定的数学思维能力，是难以在当代社会中得以生存和发展的。因此，在我们进行数学课程统整的教学中，激发学生探索数学知识的欲望，有效地培养学生数学思维能力的主动性、探索性、独特性和创造性具有深远的意义和价值。

要想真正在课堂上实现这一教学策略，教师需要如何引领学生呢？下面我和大家分享黄爱华《智慧数学课》一书中的一个案例，这个片段是结合“长方形和正方形的周长（活动课）”展开的，这节课是“长方形和正方形”单元教学结束后，针对学生在本单元遇到的难道问题——“由于图形的分和拼所产生的周长增减变化”，而设计的两个活动“分一分”和“拼一拼”。具体操作：

（一）创设条件，激活学生的思维

创设条件，这里的条件，可以是一个问题、一个矛盾、一个场景，等等。其目的是把学生引入相关的情景，产生疑问、冲突，进而使学生有一个明确的思维方向，并产生强烈的探索欲望和思维能力。

如长方形和正方形的周长（活动课）的引入，采用的是一个问题。“在这个长方形里，藏着一个最大的正方形，你能把它找出来吗？”一语激起千层浪，这似乎是捉迷藏的游戏，学生会想：我要找出藏在里面的最大正方形。他们的思维指向非常明确，同时又带有游戏的成分，于是，每个学生的思维都活跃起来，进入了状态。

（二）为学生提供思维的台阶

思维的过程不是直线上升的，往往是螺旋式上升，或者像爬楼梯的台阶一样，学生在某一个点上，可能会遇到困难，靠他们自身的力量和现有的水平，无法跨越、上升。在这样的思维难点上，教师要充分地发挥引领作用。具体体现就是：位学生提供进一步上升的台阶，或者说脚手架，让学生继续去攀登，而绝不能由教师直接告诉结果。思维难点的发现，思维台阶的设计，都是教师在备课的过程中，需格外下工夫的。

本例片段二充分体现了这一点。“把一个长方形分成周长相等的两部分”，当学生找出三种分发后，就挺停住了。这时怎么办？这里的思维台阶是“中心点”，但是中心点绝对不能由老师直接出示，那样不但会剥夺了学生的思维机会，而且会使学生产生严重的依赖性。所以，教师的设计是,把学生的三种分法的图形完全重合，引导学生观察，学生们自然会发现：“中间的线段相交到同一个点！”教师说明这是长方形的中心点，继而大力表扬学生这个了不起的发现。由此学生既获得了很大的成就感，先前由学习困难产生的不良情绪也一扫而光。接下来，又马上积极地投入了新的思维活动：根据中心点，提出想法、猜测。

（三）走进数学思维

数学思维并不高深，也不难懂。在小学数学教学中，我们完全可以引领学生们通过具体的数学知识、内容，学会一些数学的思维过程、方式、方法，领悟和感触数学思维的美和价值，踏上美妙的数学思维之旅。

如本例片段三，利用前面“分一分”活动的得出的结论“把一个图形分开，周长会增加”，老师用一个问题“那如果把两个图形拼起来呢”，就让学生走进数学思维了。虽然学生们的回答很直接，甚至很准确“周长会减少！”但是，在这之前，他们千真万确地经历了：分析前面的结论，运用类比的方式，由此及彼，求同存异，提出猜想“周长会减少”。作为老师，知道学生的回答是猜想，但是学生们自己并不一定清楚。所以，教师追问“真的吗？一定会减少吗？”学生们则不敢理直气壮地肯定，因为他们的想法没有经过实验验证。于是，思维之旅继续前行：进入实验验证环节。

片段四，小组合作学习，实验验证结束之后，进行了归纳总结，虽然这里只花了3分钟左右的时间，但归纳这一思维过程的重要性确实不容忽视。因为学生们提出猜想、实验验证，小组活动、汇报，这所有的一切，都是为了一个目的，得出一个具有普遍性、一般性的结论。因此，结论和过程同等重要，结论的提出，保证了数学思维活动的完整性。

数学学科本质四：对数学美的鉴赏。

我国著名数学家华罗庚教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”能够领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习效果。

数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。

（一）和谐性

和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感。和谐性的表现形式很多，就数学而言,其典型表现有以下几种形式。

1.统一性

统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一, 例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。（1）数学理论的统一, 欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人一美的启迪。（2）数学和其它科学的统一。力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学等社会科学领域,日益显示出它的效用。

2.对称性

对称性是和谐性的一种特殊的表现。它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中。例如轴对称、中心对称等的空间对称,《找规律》中的周期等时间对称,还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。数学的对称美,实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。

3.简单性

简单、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一致。因此,简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简单美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。如各种图形的面积和周长的计算公式我们可以用字母来表示，各种数学现像可以归纳成一个定理、一个规律。

（二）奇异性

弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。数学的奇异性主要体现在：

1.突变性。突变是一种突发性变化，是事物从一种质态向另一种质态的飞跃。它来之突然，变化剧烈，出人意料，因而能给人一新颖奇特之感。（举例折线统计图中的中断）

2.反常性。反常是对常态、常规的突破，它常常以矛盾冲突的形式创造新的数学对象，丰富数学的内容，推动数学的发展，因而能给人一种革旧立新、开拓进取的美感。例如统计与可能性中，理论上抛硬币实验、摸球实验，数量相等的情况下，可能性是相等的，但实际操作中，却很少有这样的情况出现，相反还有次数相差很大的情况出现。

3.无限性。无限历来使哲学家、数学家为其深奥而动情，它深远、奥妙无穷、充满着美的魅力。例如，我们学习的数是无限的，但它们都能在数轴上找到。

4.奇巧性。奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是令人赏心悦目。（图片举例）数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。

5.神秘性。神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。例如对平行四边形面积计算公式的猜测，对规律的猜想等。

和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征 ，是对数学美的两个侧面的模写和反映，它们既相互区别，又相互依存、相互补充，数学对象就是在两者的对立统一中显现出美的光辉的。

数学美在小学阶段主要还是体现在数学教学内容上，我简单罗列了一些教学中常用的策略。

（一）教师要善于把握教材中的“美点”，引导学生去发现美。

数学中美的因素是极为丰富多彩的。如：数学概念和公式的科学美、准确美；数学结构的统一美、和谐美；数学符号的简洁美、明晰美；自然数列的有序美、严谨美等，都是数学美的体现，只有教师先把握教材中的“美点”，才谈得上引导学生去发现美的存在，感受美的氛围。

（二）充分利用多媒体辅助教学，让数学更形象生动。

多媒体教学形式活泼、图文并茂。通过大量富有真实感的照片、精美的插图、生动的动画，使抽象的、枯燥的学习内容转化成形象的、有趣的、可视的、可听的动感内容，让学生在潜移默化间学习、思考，避免了枯燥、空洞的说教，有助于儿童亲近和理解社会，发展和完善自我。多媒体教学新颖活泼的形式更能激发学生学习的兴趣和热情，从而形成一个良性循环的学习过程。

（三）添加欣赏内容，让学生感受数学之美。

数学是具有欣赏的价值，应该让学生有机会探索与欣赏数学本身的结构，给学生带来智力活动体验和探索经验的兴奋。如教学《轴对称图形》时让学生欣赏运用轴对称图形……的对称性建造的中外各建筑——雄伟的天安门城楼、神圣的天坛、线条优美的埃非尔铁塔，自然界中美丽的蝴蝶、可爱的小动物等。

　数学学科本质五：对数学精神的追求。

数学精神包括理性精神和探究精神。理性精神是指对“公理化思想”的信奉；探究精神是指以好奇心为基础，对理性的不懈追求。可以说，数学的理性精神与数学的探究精神是支撑着数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学、研究世界的最原始、最永恒、最有效的动力。

而对于成长中的学生而言，各种具有实用价值的知识与技能可能会随着以后遇到的新情境而失去效用，最为重要的是他们精神家园的开阔与富足，这样他们才能透彻地理解普便的原理，并能积极灵活地在各种情境中运用。

结合对数学精神的理解，我在《教学论思辨》（李长吉）中找到了一些策略，引导学生体验知识中的智慧。

知识中蕴含着理性的力量，学生领悟到了这种理性力量，就是在体验知识中的智慧。知识的理性力量或智慧至少表现在两个方面。一是知识中蕴涵的原理和理论本身就表达了智慧，理解和把握这些原理与理论的过程中可以领略到智慧。二是知识的一个重要特征就是它的无限发展性，因此知识在体现着人类认识的种种成就的同时，也在宣告认识的无限性。

通过掌握知识中的原理、理论，认识知识的无限性来体验知识中的智慧，要求在知识教学中，注重以下几个方面。

（1）强调理性直觉。智慧的获得需要对知识进行理性思考和顿悟。所谓转识成智，旨在领悟有限中的无限，相对中的绝对，这种顿悟往往在顿然之间实现的，它表现为哲学上的理性直觉。

（2）开展教学对话。对话作为教学方式，其实质是学生在学习过程中，通过与教师以及学习文本的思想交流，完成对知识与自身的本然之思。其过程首先是解放被理性限定的、但有着无限发展的和终极状况的自明性，然后是对纯理智判断力的怀疑；最后则是通过构造完备的高层次智慧所把握的绝对真实，以整个身心去体认你和接受真理的内核和指导。例如《3的倍数的特征》，很多学生会受《2、5倍数的特征》的影响，有错误的猜测，教师就要引发学生探究的需要，把学生的思想解放出来，根据对数据的研究提出新的的猜想，再通过推理得出正确的结论。

（3）进行综合学习。知识虽然经常是分科而治的，但却需要在学习的过程中进行综合，这样才能跨越时间、空间、学科领域的局限，完成对知识的整体把握，获得智慧。例如各单元的数学实践活动，加强数学与生活的联系，加强知识的综合运用。在教学《千克和克》时让学生到超市、菜场、家里等地方去找一找千克和克。

（4）促进学生的探究。知识中蕴涵着智慧，但是知识所蕴涵的智慧不会自发的呈现出来，需要通过不断探究，知识中的智慧才能被体验到。正是在这个意义上，柏拉图感叹到：“对于学习科研从来没有尝过一点滋味，对于辩证推理更是一窍不通，他心灵深处可能存在的爱智之火光难道不会变得暗淡微弱吗？”现行的教材为学生提供了丰富的探究活动，教师要有探究的意识，舍得给学生探究的时间和空间，让学生在探究中领悟数学精神。

对于最后两个学科本质，推荐《数学欣赏》（张文俊）

对于数学的美，需要我们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深邃的内涵和思想，和她对人类思维的深刻影响。