有趣的点子图

教学目标 ：

1、通过点子图的学习，初步建立等差数列求和的逻辑推理。

2、初步养成由简到繁、由浅入深的分析探究问题的良好习惯。

3、渗透三角形面积公式推导的方法、领悟极限思想和数形结合思想。

教学重点：数形结合思想的领悟。

教学难点：等差数列求和公式的内涵理解。

选课思路：许多孩子对等差数列求和计算公式知其然，而不知所以然。通过实践操作、领悟高斯求和公式的内涵，利用数形结合渗透三角形面积计算公式的推导方法。

教学过程：

一、引入

师：同学们，这是什么？（小黑点）

今天这节课我们就研究这样的点子图。同学们请继续看，2个3个4个

1、仔细看，这些点子有什么特点呢？

依次增加，每行相差一个

2、你能马上知道这里有多少个小圆点吗？

有些孩子能用公式计算，（首项+末项）*项数/2

有点孩子无法计算，或者说说这个计算公式不甚理解。

3、遇到这样比较繁的问题，我们数学中，常常可以从简单的问题入手。我们先来选取其中的一部分来研究吧

二、新授

1、

师，除了1+2+3+4，还可以怎样计算呢？

操作：（1）重新组合圆点，排成便于计算的图形，

（2）根据图形列出算式

师：确实，用乘法来计算比较方便。毕竟乘法是求几个相同加数的和的简便运算嘛。当圆点的行数正好是偶数时，我们可以取半折中的办法，重新拼成这样的长方形，用行数乘列数就可以计算出小圆点的个数。

2、当圆点的行数是奇数时，你该怎么拼呢？又怎么样列出算式？

继续操作：

5*3

师：5和3分别表示什么意思？为什么选择排3行？有什么讲究吗？

3、现在老师也想介绍一种方法，看看，

师，你看到了什么？

（又复制了一个一模一样的点子图，然后，旋转180度。与原来的三角形一起拼成了一个长方形）

操作：

试着同桌合作，象老师这样的拼一拼，思考：拼成后的点了与原来的点子图相比较有什么不一样？

（拼成后的点子数是原来的2倍）

（行数不变，列数多了一列）

师：如果要计算原来的点子数，该怎么列式？

6*5/2

师，6是怎么得出来的？表示什么意思？

规范的列式是：（1+5）*5/2

师，这里的1和5分别是指什么？

师，为什么要除以2？

4、归总计算公式

综合刚才的研究，从特殊到一般规律，

我们可以用哪个计算公式来表示等差数列求和比较合适？

等差数列求和=（首项+末项）*项数/2

5、练习

（1）7行的点子图，一共有几个点子？

你是怎么想的？

（2）课前出现的21行的点子数，你会算出一共有几个点子吗？

（3）1+2+3+4+^…+99+100

师：同学们，这题你们陌生吗？

生：不陌生。以前看到过。

师：你们知道是关于哪个数学家的故事吗？

生。不一定知道。

师：数学王子高斯的故事。高斯小时候的数学老师就是给他提了这个数学问题，但是我们小高斯很快就能够算出来，你们知道他是怎么算的吗？

生：（1+100）×100÷2=5050（板书）

这里的1和100分别指的是什么？

你猜高斯当时是怎么想出这么好的办法的呢？

师：我们来认识一下高斯。

师：被成为“数学王子”的德国著名数学家高斯……（动画或者录音演示）

师：我们今天在数学课上用数与形结合，那么复杂的问题就变得简单了，是不是？

师：其实高斯的这种方法我们在生活中都能用到，你看，工地上有这样一堆钢管，你获得了哪些信息？

生：最上面4根，最下面9根。

师：前面我们发现的规律，你能不能用上去？学生独立试试看，做在练习纸上。

学生汇报交流

生：（4+9）×6÷2=39

师：你是怎么想的？

师：钢管的形状是？（梯形）是从少到多排列。我们再做一个一样的钢管堆，倒过来摆放，与第一堆放在一起，每层就一样多，都有9+4=13根，一共有13*6=78根。

生：别忘记除以2，现在求出的是两堆钢管的数量，一堆就是39根。

这样解决问题就简单多了

三、总结

师：同学们，今天我们这节课从有趣的点子图开始研究，通过这节课的学习，你有什么新的收获吗？

生：1、等差数列求和公式：（首项+末项）*项数/2

有更深刻的理解，会更加熟练的运用。

2、

师：点子很复杂，只要复制一下就变成很有规律的图形了，这时可以计算出总数，再除以2，就是原来的数量，其实这种方法我们还可以试着解决更多的问题。这就是数形结合的方法研究数学问题

3、

师，想象一下，小圆片越来越小，小到极限，，是不是可以密铺整个三角形？

如果一个小黑点代表1个基本面积单位，那么黑点的个数是不是可以代表三角形的面积？

推理一下，用今天所学的知识可以应用到三角形的面积计算吗？

师，如果这个方法可行，你认为还存在哪些方面的问题？（普通三角形是不是适用）

师，课后，带着这个问题，去摆一摆小圆片，同样个数的小圆片摆成等腰直角三角形，摆成普通三角形，他们的行数和列数是怎样变化的？跟三角形的哪部分有关系？