把握数学思想  优化设计过程

----苏教版四（上）《不含括号的混合运算》

吴亚娟 

第一次实践：摸索实践，问题初露端倪

【教学片断】

一、激活经验，引入课题

1.你能说说它们的运算顺序吗

（1）100—40＋50 

（2）12×3÷4

（3）5×3＋20

（4）36—40÷5

（5）（26—6）×3

提问：你能说说各题的运算顺序发吗？

二、联系实际，学习新知

1、学习例题

师：请同学们仔细观察大屏幕，从图中你知道了哪些数学信息？

生：一副象棋12元，一副围棋15元，要买3副象棋和4副围棋，一共要付多少元？

师：根据这些信息，你能帮助这位同学算出一共要付的元数吗？

第一次展示学生作品：①12×3=36（元）     ②15×4=60（元）    

15×4=60（元）       12×3=36（元）

36+60=96（元）       36+60=96（元）

师：你是怎样想的？

第二次展示学生作品：③12×3+15×4       ④12×3+15×4    

                         =36+15×4           =36+60

                         =36+60              =96（元）

                         =96（元）         

     师：你们又是怎样想的？

师：请同学们仔细观察③④两位同学的计算过程，你喜欢哪一种？为什么？

生：汇报交流

小结：刚才我们完成了一道三步计算的乘法和加法的混合运算，根据题意，我们知道计算这样的三步混合运算要先算乘法，再算加法。事实上数学也是这样规定的：在没有括号的加法和乘法的混合运算里，要先算乘法，再算加法。计算时要注意，像这样在加号的左右两边都是乘法的算式，两步乘法可以同时计算，使过程简便。

2.尝试计算

出示：150＋120÷6×5

提问：根据你的经验，你打算按怎样计算？

生尝试练习，并交流解答过程。

小结：按照运算顺序，这里要先算乘除法，而乘除法连在一起，从左往右先

算除法，再算乘法，然后再算加法。计算时要注意：暂时不算的每一步要按原来的位置照抄下来。

3.对比总结

（1）对比两道综合算式你发现在计算时，应该按怎样的顺序计算？

（2）今天学习的运算顺序和以前的学习的有什么不同之处？

三、联系巩固，内化应用

1. “练一练”第1题

让学生说一说运算顺序，再独立计算。

2.“练一练”第2题

独立思考，然后交流几道题分别错在哪里，怎样改正。

强调：混合运算要按运算顺序计算，计算时还得细致、认真，才能得出正确

的结果。

3.练习十一第2题

先让学生按题组计算得数，再比较每组题两道算式里的数和得数有什么联系？

4.练习十一第3题

提问：“人均居住面积”是什么意思？

尝试列综合算式解答。指名回答算式，并说说算式中每一步表示的意思。

四、总结提升，体验收获（省略）

【思考：听完课，老师们觉得，能够渗透类比的数学思想，但层次不明显，也就是类比之后学生的思维还是处于同一水平，并且利用实际情境帮助学生理解运算顺序这一重点不够突出，例题1教学过程学生在还是在解决这一个单一购物的题，而且第一部分利用实际生活情境让学生体验运算顺序不够，小结时候就初步揭示了运算顺序，是教师把运算顺序强加学生给学生的，不符合学生的认知规律。

【学生问题】

1.难点还是难点。从学生的课后练习来看，计算过程中运算顺序错误的学生较多。

2.实际情境理解运算顺序只是形式。希望学生能够在实际情境中感悟、理解运算顺序，似乎学生仅仅停留在解决象棋围棋的实际问题，对于运算顺序还是停留原有的认知水平。

【分析反思】

1.挖掘类比数学思想。在解决例题1的过程中，让学生经历观察---思考---内化—提炼的过程，充分利用好类比数学思想，有利于学生对数学问题进行深层次的思考是完全可行，但在数学思想的渗透过程要目标明确，层次清晰，通过每一次的对比，都让数学思维提升一个层次。

2.巧用实际情景。如何充分利用实际问题情境，让学生感悟、体验、理解运算顺序，帮助学生理解解决实际问题引入综合算式及其运算顺序，学生能借助实际问题中的事理和数量关系理解有关的混合运算顺序；另一方面，在学生初步掌握了有关的混合运算顺序后，及时安排各种生动的实际问题，让学生列综合算式进行解答，使学生在运用知识、巩固知识的同时，进一步体会混合运算的实际应用价值

3.渗透数学思想，提升数学思维。在类比数学思想中加深对混合运算顺序的理解，提高运算技能。教材不仅多次安排运算顺序容易混淆的式题的对比练习，让学生在比较中体会运算顺序的改变对运算结果的影响，而且还注意让学生在比较中发现一些运算的性质和规律，从而提高灵活计算的能力。】

第二次实践：把握状态，问题真实暴露

【教学重建一】

一、激活经验，引入课题

1.你能说说它们的运算顺序吗

（1）100—40＋50 

（2）12×3÷4

（3）5×3＋20

（4）36—40÷5

（5）（26—6）×3

提问：你能说说各题的运算顺序发吗？

二、联系实际，学习新知

1、学习例题

（1）解答例1，体验过程

师：请同学们仔细观察大屏幕，从图中你知道了哪些数学信息？

生：一副象棋12元，一副围棋15元，要买3副象棋和4副围棋，一共要付多少元？

师：根据这些信息，你能帮助这位同学算出一共要付的元数吗？

展示学生作品：①12×3=36（元）         

15×4=60（元）     

36+60=96（元）    

师：你能介绍一下你是怎样计算？

生：学生介绍

师：追问：12×3=36（元）表示什么？15×4=60（元）表示什么？36+60=96（元）表示什么？

指出：要求一共要付多少元，要先算3副象棋的价钱和4副围棋的价钱，再把它们的价钱相加。

（2）混合运算，学习新知

展示作品：

②12×3+15×4          ③12×3+15×4

  =36+15×4           =60+36

  =36+60              =96（元）

  =96（元）          

 师：这两位同学的解题方法和 前面一位同学的解题方法有什么不同？

师：这两道综合算式又有什么不同？你更喜欢哪一种？

师：这一道综合算式按怎样的顺序计算？

小结：从这道题目中我们知道了要先算乘法，再算加法。计算时，像这样在加号的左右两边都是乘法的算式，两步乘法可以同时计算，使过程简便。

2.尝试计算

出示：150＋120÷6×5

提问：按照你的认识和经验，你打算按怎样的顺序计算？

生：交流汇报，尝试练习

小结：按照运算顺序，这里要先算乘除法，而乘除法连在一起，从左往右先算除法，再算乘法，然后再算加法。计算时要注意：暂时不算的每一步要按原来的位置照抄下来。

3.对比总结

（1）对比两道综合算式你发现综合算式中有加、减、乘、除法计算时，应该按怎样的顺序计算？

（2）今天学习的运算顺序和以前的学习的有什么相同之处？

二、联系巩固，内化应用

1. “练一练”第1题

让学生说一说运算顺序，再独立计算。

2、“练一练”第2题

独立思考，然后交流没道题分别错在哪里，怎样改正。

强调：混合运算要按运算顺序计算，计算时还得细致、认真，才能得出正确的结果；如果发现错误及时订正。

3、练习十一第2题

让学生按题组计算得数，。

比较：同学们比较一下每组题两道算式里的数和得数，你认为有什么联系吗？

4、练习十一第3题

学生读题，理解题意

提问：“人均居住面积”是什么意思？

尝试列综合算式解答。

指名回答算式，并说说算式中每一步表示的意思。

四、总结提升，体验收获

【讨论汇总】本次教学例题1时，对比明确，层次分明，学生在一次次的对比、思考中，挖掘类别思想在本节课中的作用，通过实际问题体悟到运算顺序，较好的理解和表达自己的运算顺序，但是学生思维还是停留在表象，没有形成数学技能，因此在试一试之后，不能发现综合算式运算过程，运算顺序的共同点。

【学生问题】

1、把握重点，没有突破难点。本节课的难点是通过引导学生开展自主学习活动，促进学生良好数学思维能力的发展。从课后的作业反馈，学生基本掌握了运算顺序，但只停留简单的知识层面，稍微复杂的综合算式，运算顺序还有部分学生错误，说明学生对于运算顺序没有熟练掌握，没有形成技能，学生的数学思维能力没有得到发展。

【分析反思】

1.妙用类比思想 领悟数学内涵。执教例题1时，教师通过多次的对比，渗透类比的数学思想，结合实际问题情景，学生理解了运算顺序，但还是停留在表象，不够深刻和熟练，还没有形成技能。

2.混合运算知识体系中重读教材。四年级上册的三步混合运算的学习，这不仅能使学生体会学习混合运算是解决问题的需要，感受混合运算的实际意义，而且也有利于学生感受运算顺序的合理性，更好地理解混合运算的运算顺序；另一方面，让学生运用所学的计算解决一些实际问题，即有利于学生加深对运算顺序的理解，发展数学思考，也能使学生进一步感悟相关的解决问题策略，提高分析和解决问题的能力，体会混合运算的作用和价值，发展应用意识。

第三次实践：解决问题，优化设计过程

【教学重建二】

一、激活经验，引入课题

1.你能说说它们的运算顺序吗

（1）100—40＋50  

（2）12×3÷4

（3）5×3＋20

（4）36—40÷5

（5）（26—6）×3

提问：你能说说各题的运算顺序发吗？

指出：只有加减或乘除混合运算时，按从左往右的顺序计算；乘法和加、减法的混合运算，除法和加、减法的混合运算，要先算乘法或除法，再算加、减法。

二、联系实际，学习新知

1.      学习例题

（1）解答例1，体会过程

出示例1

谈话：为了丰富同学们的课余生活，大家选派了一位同学到商店购买围棋和象棋。

提问：从图中你知道了哪些数学信息？

提问：你能根据这些信息，帮助这位同学算出一共要付多少元？

学生列式解答，教师巡视，展示分步计算学生作品①12×3=36（元）         

15×4=60（元）     

36+60=96（元）

追问：12×3=36（元）表示什么？15×4=60（元）表示什么？36+60=96（元）表示什么？

指出：要求一共要付多少元，要先算3副象棋的价钱和4副围棋的价钱，再把它们的价钱相加。

（2）混合运算，学习新知

展示综合算式②12×3+15×4          ③12×3+15×4

  =36+15×4              =60+36

             =36+60                 =96（元）

             =96（元）  

提问：这位小朋友的作品和刚才这位小朋友的作品有什么不同？

展示两种算法的综合算式：

提问：这两道综合算式，它们的计算过程又有什么不同点？追问：它们有什么共同之处？

指出：也就是先算3副象棋的价钱和4副围棋的价钱，再把它们的价钱相加

提问：你更喜欢哪一种计算过程？

提问：请同学们仔细观察这道综合算式，像这样的算式先算什么？再算什么？

（3）变式练习40÷4－12÷3

60÷3－5×4

 对比：请同学们仔细观察这三道综合算式：12×3+15×4；40÷4－12÷3 ；60÷3－5×4 ，对于这一类型的综合算式运算顺序，你有什么发现？

小结：刚才我们在购买象棋和围棋的实际问题中，理解了要先算3副象棋的价钱和4副围棋的价钱，再把它们的价钱相加，求出一共的价钱，

这里的除法和乘法算式可以同时进行计算。

2、尝试计算

出示：150＋120÷6×5

提问：按照你的认识和经验，你打算按怎样的顺序计算？接下来请同学们尝试计算，把计算过程写在小黑板上。

提问：观察这两道综合算式，它们有什么相同之处？

追问：也就是说有乘、除法和加、减法运算时，要怎样计算？

小结：像这样没有括号的算式中，有乘、除法和加减法，要先算乘除法，再算加减法。

揭示课题：这就是我们今天要学习的不含括号的混合运算

3、对比总结：请同学们仔细思考一下，今天学习的混合运算和以前学习的混合运算有什么相同之处？

三、联系巩固，内化应用

1.“练一练”第1题

让学生说一说运算顺序，再独立计算。

2.      “练一练”第2题

独立思考，然后交流没道题分别错在哪里，怎样改正。

强调：混合运算要按运算顺序计算，计算时还得细致、认真，才能得出正确的结果；如果发现错误及时订正。

3.      练习十一第2题

让学生按题组计算得数，。

比较：同学们比较一下每组题两道算式里的数和得数，你认为有什么联系吗？

4.      练习十一第3题

学生读题，理解题意

提问：“人均居住面积”是什么意思？

尝试列综合算式解答。

指名回答算式，并说说算式中每一步表示的意思。

四、总结提升，体验收获

这节课我们在购买象棋、围棋；以及人均居住面积等实际问题中，体悟、理解、掌握了不含括号的加、减、乘、除混合运算的顺序，你有哪些收获？

三次磨课的思考：把握数学思想  优化设计过程

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学知识与能力结构的重要组成部分。乌申斯基说过：“类比是一切理解和思维的基础。”在新的课程理念指导下，如何有效的进行数学思想方法的教学，培养学生的解决问题的方法，被许多教师所关注。纵观小学数学学习的思想方法，通过研究发现，类比的思想方法在小学数学教学和学习中有着无可替代的优越性，所以在引导学生在问题解决过程中不断丰富数学思考，进而形成初步的数学思想。下面，就以苏教版《数学》四年级上册“不含括号的混合运算”一课经历三次磨课为例，谈谈如何把握数学思想，优化设计过程。

一、探索实践，渗透类比数学思想

三次的执教，发现类比的数学思想在本节课中占重要的地位，因此，在不断的优化设计过程中，我们紧扣“类比”的数学思想。比如：在设计例题1时，从三次的教案设计中，不难看出我们不断的优化渗透类比的数学思想。如：从第一次教案设计中“对比两种分步计算”“对比三种综合算式”的两次比较，但基本都是同一个思维层次的比较，逐步调整到第二次设计中不同思维层次的对比，如：“对比分步计算和综合算式又有什么不同之处”， “这两种综合算式又有什么相同之处”等多层次的对比，不断的提高学生的思维水平，促进学生深入思考，借助实际情境理解运算顺序。对比例题1和试一试，对比新知识和旧知识，激活学生的知识储备，融会贯通混合运算知识。

二、把握状态，提升类比数学思想

到第三次设计中，在第二次的基础上，增加了口算这两道“40÷4－12÷3 ；60÷3－5×4 ”算式，再请学生观察这三道综合算式：“12×3+15×4；40÷4－12÷3 ；60÷3－5×4 ”，对于这一类型的综合算式运算顺序，你有什么发现？这一次对比，把学生的从实际问题中提升到了数学本质问题，通过数学对象的相似性，让学生建立在借助实际情境已经理解的“12×3+15×4”这一问题，迁移到“40÷4－12÷3 ；60÷3－5×4”这两道综合算式中，学生有了前面的购买象棋、围棋的数学经验，运用类比方法就会解决后面两道算式。我们由扶到放，巧妙渗透类比思想，让学生“举一反三”“触类旁通”，展开想象的翅膀，进行推理、总结、提升，在这个过程中，不仅巩固了例题1中的运算顺序的理由，还掌握了新知，建立知识之间的联系。从课堂反馈看，学生的思路是开阔了，思想却是相同的。

三、解决问题，内化数学模型思想

数学模型思想是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。本节课设计就是从实际“购买象棋和围棋的实际问题中，理解了要先算3副象棋的价钱和4副围棋的价钱，再把它们的价钱相加，求出一共的价钱”生活实际问题出发，学生学习这样数学知识的过程，其实就是体验数学思想方法的过程，通过师生、生生交流及思想的碰撞，不断地触摸到其中所蕴含的数学思想方法，从中不断地抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起，从而让学生感悟、体验、理解了混合运算中的运算顺序。在练习部分回归到“人均居住面积”等实际问题中，进一步的沟通实际问题与运算顺序之间的联系，充分让学生通过感知—观察---想象—抽象—归纳，进一步内化了数学本质问题。让数学学习深入到“模型”“建模”的意义中，从而成为一种真正的数学学习。

    总之，数学思想方法是数学知识的灵魂。我们应该充分挖掘教材蕴含的数学思想方法，在教学设计中有意识地渗透数学思想方法，这样既可以加深学生对数学知识的理解和掌握，也有助于提升学生的数学思维能力。