本文发表在2015年4月《教育评论与研究》

做学玩合一  思创行一体

——小学数学实验的设计与实施

常州市武进区星河小学   庄惠芬

在儿童数学学习的路上，我们经常看到的是大量的说数学、练数学、背数学、考数学，听到的数学的形象大量的是枯燥的、乏味的、抽象的、恐惧的。数学大师陈省身写下“数学好玩”，数学家田刚则题词“玩好数学”，他说数学不仅有用，而且有趣，处处有奇妙，令人神往。如何找到这样的场域，让孩子如同走进美妙的数学花园，愿意玩在其中；如何让学生也能感受数学的魅力，让儿童做数学、玩数学、学数学，如何能够去探索这样的一种通道，让儿童的数学学习真正做到做学玩合一、思创行一体。

大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。于是在目前的初中、高中都提出了数学实验的相应要求，而小学与中学的脱节导致儿童对数学学科本质的理解。在数学衔接教育的视野下，我带领我的孩子以数学实验为载体，不仅使学生主动地去获取知识，徜徉在数学实验室的观察、探究和发现中，去绽放独特的思维、去坚守数学的精神、去发现问题、探究问题和解决问题，获得数学的力量！

一、从无到有，建构儿童数学实验的场域

著名数学家弗赖登塔尔曾指出：“要实验真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动”。需要我们围绕数学实验的开发设计来研究组建小学数学实验室，让孩子在专门的数学实验室里操作、探索，通过“做”数学来理解数学。

1.那是一个玩数学“应有尽有”的空间

一般的数学实验室配置应包括：数学教具、数学学具、数学用具、计算机、电子白板、数学图书资料、数学模型、数学的相关制作材料、家具（书架、教具架、可实验的课桌椅）、器械推车等。但是有没有注重和孩子学生学习的需求所匹配，有没有考虑儿童数学从一—六年级数学学习的序列性和内容的层次性相匹配。我们先从网上收集、阅读、分析与本课题相关的文献资料，学习中学数学实验室组建的基本要求，借鉴科学实验室的组建模式，结合小学数学学科的特点以及小学生的年龄特点，我们尝试组建适合小学生的数学实验室。从丰富实验学具、到文化布置等一系列过程，课题组的每一个成员积极参与、出谋划策，不断完善数学实验室的组建。活动室从空间、仪器、橱柜、媒体等各个方面征集大家意见，初步建成，并且已经投入使用，在使用中进一步完善。目前数学实验室的器材主要有：

学生的思维发展离不开具体的学具操作，尤其是在数学实验课中学具的应用至关重要。例如：相遇问题中可让两位孩子演示运动过程，圆柱和圆锥的体积关系时可以让学生进行实际操作演示、感受体积这一抽象概念时可以让学生用橡皮泥在长方体或圆柱内填充感受体积的感念，溶液配制问题在教学中也有要求用适当的有色溶液代替，进行现场稀释或加浓或混合。我们分工合作重点梳理了1——6年级教材中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域的实验内容，罗列出相关数学学具，学生不仅有学具袋、学具盒，还有实验室里专有的实验器具。

2.那是一个做数学“即时即地”的地方

通过数学实验，可以使学生顺利再次经历数学公理、法则、定理、公式的推导过程，把实际问题数学化并通过自己的再创造，而数学实验室可以为儿童的再创造提供技术、工具的实验环境，借助工具、技术和器材等可以观察并尝试错误，可以进行发现并做出猜想；也可以做实验，并进行测量、分类；或是设计算法，通过运算检验；或是提出假说，或是提出问题、或是大胆借助逻辑推理加以证明等等。

林群院士指出数学实验是头脑的实验，是数学强劲的动力。技术发展到今天，我们的实验需要和现代技术结合在一起。数学不单单做体力实验，主要是做脑力实验，所有人类的进展都是数学做实验过来的。林群院士强调数学更重要的是头脑的实验，不单单是机器的实验。因此，数学实验室不仅是有固定的，还有这可移动的实验室。学生不仅能在课堂上学习数学，而且可以携带IPDA和网络，随时随地用来研究、解决数学问题，可以在课外继续进行自身的体验、探究和实践，因而有一个充分发挥自主性和创造力的空间。

3.那是一个创数学“无处不在”的平台

创建做学玩数学探究空间，创建数学探究、实验、实践、体验、操作等学习活动场所，提供探究性学习平台，拓展延伸课堂教学，通过泛在学习环境架起了儿童自主学习的时空，让儿童在问题情境中将探究坚持到底。在网上开设数学化学习环境，创想数学课程结合儿童的心理特点，通过借用视频、网络、学习软件、学习网站、虚拟实验、微课等奖数学课程的呈现方式与实施过程变得立体、多元、综合、具有选择性和个性化；丰富了儿童学习的情境、激发了儿童探究数学的挑战性、积极性、互动性和选择性。

二、由点到线，渐进数学实验的内容

在儿童数学学习的过程中，数学实验不是目的，而是载体，儿童数学素养的发展才是旨归。在让儿童感受数学的形式化、抽象性的同时，更需要让儿童重新去发现数学、体验数学、再创造数学，那么数学实验就成为一个非常好的路径和载体。当然，数学实验也不是万金油，不是所有的课题都适用于数学实验这种教学方法，要注意量力性、实用性、趣味性等等。根据实验方式大致可以分成以下几种实验方式：

1.操作性数学实验

在数学实验中，动手操作是常用的一种方式，它是在老师指导下通过学生借助学具对数量之间的关系、数学算理、数学法则、定义、公式等探究的小型实验。这样的实验伴随着孩子直观形象地理解数学的抽象，让儿童在动手操作的过程中获得新知、找到操作和定理之间的关系，自主探索数学知识、检验数学结论、发现数学的规律。

如四年级《三角形的内角和》中的数学实验。

（1）猜想三角形的内角和

有没有同学已经知道三角形的内角和是多少呢？知道的同学可以写下来，不知道的同学可以估一估、猜一猜是多少？那么是不是所有的三角形的内角和都是一个固定的数，吧你的猜想记录下来：

我已经知道三角形的内角和是（      ）度；

我猜想三角形的内角和可能是（      ）度；

（2）确定研究范围

   研究三角形的内角和只研究黑板上这一个行不行？那就随便画，挨个研究吧。那怎样才能研究完所有的三角形呢？

通过引导学生分析，“看来要对所有的三角形的内角和进行研究，必须要将三角形进行分类研究”这个问题。

（3）动手操作实验

   请每个学习小组拿出课前制作的各种各样的三角形，先找到三个内角，把每个角标上序号。老师提出要求：先试着研究自己的三角形，然后再共同研究小组里其他同学的三角形，看看各种三角形内角和是不是一样的。

操作性实验是通过学生动手操作、合作探究获得的，这是一个主动建构的过程．在这一过程中，通过动手操作，把学生推到思维的前沿，把课堂交给了学生，给学生参与实验、自主探索、合作交流的机会，让学生在自主的思维活动中去构建新的认知结构，再如轴对称图形、平移和旋转、多边形的内角和、图形的分割等等，都可以采用操作性实验教学法。

2.数学建模实验

所谓建摸，就是用数学符号语言或图象语言刻画表达某种实际问题的数学结构。常见形式有：公式、关系式，统计图表，线段图、示意图等。数学模型的构建是离不开数学符号的。儿童对课程学习内容进行重组、创作，使课程学习，能够帮助儿童建构知识、建构能力、建构思想。

如，数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题，欧拉就是通过符号处理，把一座桥看作一条线，而不重复地通过七座桥就是要一笔画出七条线所组成的图形，欧拉将“七桥问题”转化成为“一笔画”问题，从而使“七桥问题”得到了彻底解决。

拓展：在老师家乡常州，有一个著名的淹城野生动物园，在这里你可以看到很多珍贵的动物。这是我们淹城动物园的导游图，你能利用刚才学习的知识说说使游人走遍每一条路不重复，入口和出口又应设在哪儿比较合适吗？

以创设七桥问题的故事情境为课堂切入点，进而引发学生对一笔画问题的认识与思考；在小组合作探究的活动过程中形成一笔画的数学模型，在建立模型的过程中努力体现学生的自主建构，教师适时进行建模引导；在建立一笔画模型后通过简单的一笔画图形判断到七桥问题的改造再到生活中的动物园出入口设计、邮递员送信，使抽象的一笔画模型与丰富生活数学模型相结合，有效促进学生对模型的内化与应用，进而发展学生建模、拓模、运用模型的能力，让他们体验数学模型的神奇与价值。

（3）软件模拟实验

结合计算机运用数学软件，这种类型的实验课一般用于探索性较强的实验，它可以进行需要大量数值计算，或需要较大的图像文字处理的实验。如进行统计图表的绘画，函数图像的处理等等。

儿童对于概率的研究：一个硬币是正面还是反面？1/2？理论概率与实验概率的冲突；样本多大才合适？是不是次数越多就越接近1/2；是不是次数越多就越接近1/2；这时可借助计算机的模拟实验如何辅助？（抛硬币）再思考如何根据频率进行推断？

随着信息技术的发展计算机作为多媒体的信息载体,以其容量大、速度快、效果好可同时传递图、文、声像等信息的优点,它能产生一种任何教学方法都无法比拟的教学效果，因为计算机能够真实地模拟现实生活环境，在这种环境中重现所要描述的客观数学现象，从而对该现象的某些规律做出描述、判断、和预测，这种数学实验通常称为模拟实验.

 (4)思维活动型实验

思维活动型亦即思维实验是指不借助于实物工具，只在头脑中模拟实验的全过程，并通过思维活动检验实验的可行性，从而得出结论的思维活动。思维性是按照真实实验方式展开的一种复杂的思维活动．思维性数学实验教学是指通过对数学对象的不同变化形态的展示，创设问题情境，引导学生运用思维方式探究数学知识、检验数学结论(或假设)的教学活动。

如一张纸能对折多少次？

科学的奥秘就在于对我们司空见惯的事情提出质疑并寻求答案。

小朋友们，你知道一张普通A4纸的厚度吗？一张纸很薄很薄，只有0.1毫米哦。设想一下，现在你面前放了一张A4大小（和我们平时用的打印稿纸一样大小）的纸，如果让你将它连续对折，最多能折几次？是10次、20次还是30次？

拿出一张A4纸，动手试一试吧？ 你一共对折了几次？是6次？还是7次？或者是8次？是不是和你想像的次数差距非常远？

为什么不能对折出更多的次数呢？让我们一起走进数学研究的世界吧！

让我们列张表格来算算吧。结果会吓你一跳哦。

一张A4纸的标准是21CM×29.7CM，面积是623.7 cm²。如果以近似值620 cm²来进行计算，我们可以尝试算出对折1次、2次……纸张的顶面面积与厚度。

看到这张表格，你有什么发现？

这个问题的研究的思维过程就是思维活动型实验。思维实验可以单独存在，同时在其他实验类型中也包含着思维活动型实验的成分。数学模型

无需走进实验室，我们只是对上述实验设计作以简单分析，就能使学生亲历问题探索的发生、发展过程，帮助学生更深刻地理解原理，而且能让学生体会数学与生活的密切关系，获得学理，从而发展儿童的数理。

三、由此及彼，日臻数学实验的教学

数学实验教学是指恰当的运用数学工具，创设问题情境，引导学生参与实践，自主探索，合作交流，从而发现问题，提出猜想，验证猜想和创造性解决问题的数学活动。

（1）把握价值，梳理数学实验序列要求

新颖、丰富的学具材料，真正体现操作式学习的理念。我们根据目前的认识，根据老师们的梳理，将我们所理解的实验从类别、意义、内容和操作方式上做了一定的整理。

2经历过程，开启数学实验教学之门

（1）四部前奏，理解把握实验的过程

在研究过程中，我们主要做好四部曲：第一步，收集、阅读、分析与本课题相关的文献资料，了解数学实验室组建的基本要求、注意事项等；第二步，挖掘和梳理小学各年段中现有的数学实验内容，能借助物质手段、技术手段以及教材中的素材设计再开发一些数学实验形态的教学内容，并对其特点进行分析，确定几种基本类型；第三步，分类准备数学学具、操作仪器等，组建并逐步完善数学实验室；第四步，教学应用，设计开发数学实验。

（2）有的放矢，合理把握实验的方法

直观演示法：教师通过演示的全过程，去启发、指导学生学习，进行思维训练的数学实验。在教师的讲解、演示、推导中使学生获得知识、得到思维的训练。

分组实验法：在教师有计划的指导下，通过自身的试验，经过成功和失败的体验，达到逐步掌握规律的目的。

演示与分组结合法：此种方法首先由教师进行演示，通过教师的讲解、演示、示范，说明实验的方法、步骤、以及需要注意的问题。使学生能够提高数学实验的效率，尽快地掌握数学实验的一般方法和步骤。

（3）经历一个链。数学实验的过程就是一个逐步分析、逐步探索、逐步总结的过程。做完实验还要再做两个方面的工作，即推广和特殊化。看一看还有没有新的发现，然后进行本实验的最新设计与改造。设计实验——仪器和设备的准备——进行实验——总结结论——进行新的探索——反思回顾。

 如：莫比乌斯圈的实验教学。一纸条有四条边，两个面，你能把它变成两条边，两个面吗？你还能把它变成一条边，一个面吗？试一试吧。

这个圈就是著名的莫比乌斯圈，是由德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现了这个纸圈，

你可别小瞧这个纸圈，它有许多神奇之处，让我们一起来研究研究吧。

※画一画：拿出一支彩笔，用它在纸圈的一面涂颜色，你发现了什么？

※剪一剪：在一张纸条正中画一条线，把它粘成莫比乌斯圈再用剪子沿中线把它剪开，你发现了什么？

※如果在纸条上画两条线，把纸条分成三等份，并在中间部分涂上颜色，做成一个莫比乌斯圈，用剪刀沿画线剪开，你发现了什么？

在实际的数学实验中，也也关注学生难以设计出一套完整的实验方案，在实验中提不出问题，不善于归纳和形成猜想；因此作为教师首先是积极倡导数学实验，尽可能给予学生设计、提问、猜想、操作、交流、评估的机会，创设问题情境，突出数学实验在能力培养上的载体功能．其次对突出数学实验的设计思想、实验内容、实验的演示操作过程、实验的归纳和总结都要有意识地增加学生参与的程度。

3．实验旨归，培育数学思维之场

根据我们对数学实验的理解，将数学实验分为两个层次来开设。第一个层次是对学生的基本技能的训练，主要是使学生通过数学实验从直观、形象的角度去印证有关理论。第二个层次是培养学生运用所学的数学方法，借助于工具去解决实际问题的能力。

（1）有声有色地实验。数学实验课，是可以看、摸、玩的。孩子们会不断动手尝试，在尝试过程中，一方面孩子通过自己安静地做实验，自主探究；另一方面，不断和同学、老师交流经验，提高合作的能力。我们研究了图形与几何领域的一年级《认识图形》、二年级《玩转七巧板》、《图形的拼组》，数与代数领域的三年级《认识千克和克》、五年级的《图形的分割》《谁的面积大》。通过学生动手操作、实践，激发孩子的数学兴趣，提升数学素养。

（2）有根有据地研究。在数学实验的过程中，学生随时都可以提出新的方案，但是原方案必须执行完，在有时间的情况下，再进行新的方案的实验。这些实验还可以在教室或家中进行。可以集中进行，也可以分散进行实验，实验后要及时进行交流，形成文字材料。只要教师设计的实验循序渐进，就能不知不觉中把学生引入“直觉——探试——出错——思考——猜想——验证”的实验过程中去，探索新知识，发现新奥妙。

（3）有滋有味地思辨。每一次数学实验要有明确的目标，在教师的指导下进行，逐步深入，如果学生确有新的见解和好的方法，也要把预先设计好的实验进行到底，完成实验进行总结，然后再进行新的实验，并且与原来的实验进行比较，分析出优劣。其次我们在实践中发现，有的综合实验不一定单独成课，而是分散在其它相关课程中。由于受教学时间的限制，不可能对每门课程的每个知识点都开展实验课，实验课也并不是多多益善。在开展实验时，应该注意实验的整体性和层次性，选取一些最具有代表性、实验效果比较好和难易搭配合理的的知识点展开实验。

（3）有虚有实地体验。数学实验教学模式的显著特点，一是使逻辑思维的过程视觉化、形象化，刺激大脑接受信息的兴奋点，起到激发学习兴趣的效果；二是借助计算机技术开展人机对话，既能巩固学到的数学知识又能提高计算机应用水平，有利于培养创新精神提高创新能力。在数学实验的过程中，学生进入自己“做数学”、体验数学的境界，亲身体验数学创造与发现，极大地激发了学习的兴趣，使学生的创造潜能得到了充分的开发，这是数学教学中培养学生的创造性思维和综合能力的有效方法。

学生每经过一次实验操作，其思维过程必然经历“感知——表象——抽象——反馈——再感知——丰富表象——发展思维——问题解决”这一螺旋上升的阶段，伴随着儿童数学素养的发展、数学智能的开启，真正意义促进儿童科学而又自主的成长与发展。