三问 · 三思

——以化归思想为例谈数学基本思想在教学中的渗透

王岚

试问：现状何为

《人民教育》2012年第9期，发表了郑敏老师所撰写的《让知识“联”起来》一文，该文以“多边形的面积”为例谈模块教学。在文中作者谈了平行四边形、三角形、梯形面积推导的异同，相同的都是把新知转化为旧知，不同之处在于学生体验的探究过程和探究经验是不同的，所经历的数学思维活动和数学收获也是不同的。在作者看来，思路相同——转化，但细节不同——即怎么转化，转化成什么图形。特别地，作者以三角形为例，阐述了三角形的面积教学重在引导学生经历“破”与“立”的过程。在原文中，这样写道：受平行四边形的面积推导知识迁移，学生容易想出用一个图形剪拼的方法去探究三角形的面积，教师利用一般图形操作加以否定，让学生感受“看似行，实则不行”的“破”的过程，再根据“两个相同的三角形可以拼成一个与它等底等高的平行四边形”。……

从文中的表述，至少可以感受到两点。一是教师对于基本的数学思想方法是重视的。就上文来看，在一线的数学教师中，对于转化的策略都比较熟悉。在教学中也能引导学生关注通过转化在新旧知识间建立联系。二是教师对于数学思想方法的实践运用还是不到位的。从上文来看，教者认为一定要基于两个完全一样的三角形进行转化，教师的化归的思路与策略是封闭的，而非多元的。

探问：价值何在

有一个英文老师出了一道这样的难题，

____is better than the god.

____is worse than the evil.

if you eat____,you will die.

 (三个空格必须是同一个字)

很多人冥思苦想都没有找到答案。

结果有一个数学老师用数学的方法解出来了。

设上帝之善是＋∞

恶魔之恶是－∞

令所求为x

则x＞＋∞

x＜－∞

∴x属于空集合

∴x=nothing

answer:

nothing is better than the god.(没有什么比上帝更好。)     

nothing is worse than the evil.(也没有什么比恶魔更坏。)     

if you eat nothing,you will die(如果你什么也没有吃，那么你就会死！)

虽是一个笑话，但数学思想方法的价值在一笑中仍然引人深思。

弗利德曼认为，数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）．……数学的各种方法是数学最重要的部分。事实上，不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。正如米山国藏所言：无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的．

基本数学思想可以概括为三个方面：即 “符号化与变换的思想”、“集合与对应的思想” 和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。对中小学而言，大致可分为十个方面：即符号思想、映射思想、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想和模型思想。数学方法则与数学思想互为表里、密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知识的深化及形成能力。方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。方法，是实施思想的技术手段；而思想，则是对应方法的精神实质和理论根据。

自问：路在何方

鲁迅说，世间本没有路，走的人多了也便成了路。冰心说，只见儿童多处行。事实上，数学教学也需要在探路、明路、行路中寻找一条属于自己的研究之道。

一、眼观六路：众里寻他千百度

1.从分离走向融合

数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。每一种思想方法都有其明确的数学概念、法则、公式等的载体，而每一种数学知识的获得、技能的提升、经验的体悟，也都有数学思想方法的内在的影响与作用。教师需要建立一种联系的观点，在知识中引导学生感悟思想，在思想引领下反观知识的发生发展，从而留下更为系统的认知结构。

2.从平面走向立体

教学是整体的，也是立体的。教师应该有一种宏观的视野和整体的思维。每一种数学思想方法的生长，都是从平面走向立体的过程。如，化归的思想方法，不仅有抽象问题向具体问题转化，未知问题向已知问题转化，还有复杂问题向简单问题转化；不仅有整体向局部的转化，特殊向一般的转化，还有正面向反面的转化。从教材序列来看，不仅有数与数的转化，有数与形的转化，还有形与形的转化。从学生的经验来看，不仅有简单的一次转化，也有复杂的多次转化。

3.从隐性走向显性

就学习者而言，显性知识是能够言传的知识；隐性知识是所知比能言多，只可意会的知识。作为数学思想方法，很多时候是不是教出来的，而是悟出来的。正因为很多数学知识承载着数学思想、蕴含着数学思想。需要学生经历一个发现、探索、刻画的过程，这个过程中运用的以及在这个过程中积淀下来的，也就是隐性知识。而再此过程中，引导学生不断积累、不断感悟、不断提升，从而用不同的方式外显出其数学思想的领悟。

4.从外显走向内化

从教师角度而言，在设计教学中，数学思想方法不是靠一两个词语的外显解释、刻意介绍就能走入学生内心的。真正的数学思想方法的获得，不是外界输入就能给予的，而是一个自我内心感悟顿悟的产物。需要提供多样的经历、体验的过程，从而，在这样的个体化的自我参与、主动探究的过程中，获得一种深刻的情感体验，同时也获得数学经验，并将这些经验凝练为一种思想、感悟为一种策略、体现为一种方法。

二、投石问路：寻觅灯火阑珊处

以三角形的面积计算为载体，以化归思想方法的渗透为案例，在教学中就需要教者充分理解教材、理解学生，合理重组教材、设计教学。

1.结构化的思维

纵观我们现行的数学教材，它们在知识内容的编排上具有联系性和发展性，一些知识的构建往往不是一蹴而就的，而是经过阶段性的孕伏和铺垫，在学生建立了一些认知表象和积累了一定的知识原型后得以完成。因此，在教学设计中，教师就应有全局化的视野与结构化的思维。

教师需要思考：化归思想，在教材中有哪些体现？对于化归，学生已经有了怎样的经验？有了怎样的基础？需要怎样的方式引导提升？

2.模块化的设计

由于以化归思想为教学的重要线索，因此在教学设计中，可以充分尊重学生已经的认知经验、活动经验，组织模块化的教学。通过这样的教学设计，容易引发学生进行主动迁移。

学生可以思考：对于新知，我已经有了什么样的基础？我可以怎样进行探索？我有没有其他的途径？

3.多样化的思考

作为一种思想方法，有没有其典型特征？在教学中，有没有需要遵循的基本原则？如化归的思想的核心是什么？化归的思想方法，在渗透时需要遵循哪些原则？对于这样的思考，可以给予自己的回答。化归思想的特点就是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化未已知的、复杂的化为简单的、抽象的化为具体的、一般的化为特殊的、非基本的化为基本的，从而使问题得到解决。需要遵循一下原则，熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

4.数学化的设计

下面以苏教版三角形的面积计算为例，谈化归思想的在教学中的渗透与运用。

（1）链接经验，引发迁移。

三角形面积计算，苏教版中安排在平行四边形面积计算之后。从知识发生发展的序列来看，三角形的面积计算是在平行四边形面积计算基础上推导而来。因此，从这一意义上说，学生不仅具有了推导的知识基础，也具有了研究的经验基础。因此，教师在设计中，可以安排结合了平行四边形与三角形面积计算的真实生活情境，由学生自主选择能解决的实际问题。

（2）面对新知，主动挑战。

面对学生提出的三角形面积计算的新问题，教师引导学生小组讨论，有没有可以问题的可能解决途径？

方法一：画格子，数格子。用面积单位进行测量。讨论后，得出共识，方法可行，但一是费时费力，二是可能得不到准确结果。

方法二：通过大量实例，探索得出一般的计算公式。

经过讨论，学生进入到研究一般公式的学习中。

（3）自选任务，合作研究。

讨论，可以如何开展研究？得出共识，为保证研究结果的普适性，需要对不同类型的三角形进行研究。从锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个类别分别进行探索。分组讨论，研究哪一类三角形。

（4）拓宽思路，进行化归

同桌合作，学生自己创造三角形的研究素材。为方便研究，一位同学画，同时剪下两个相同的三角形。这两个三角形，学生可以放在一起进行研究推导，也可以两人分头以一个三角形为研究对象进行讨论。

教材中，呈现的素材是用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形进而推导出三角形的面积计算公式。

另外受平行四边形的面积推导知识迁移，学生容易想出用一个图形剪拼的方法去探究三角形的面积。

（5）交流讨论，异中求同

    对于三角形面积的计算，多样化的素材提供，就可以为学生提供多元化的研究可能，学生可以选择“两个完全一样的三角形”，也可以选择“一个三角形”，在小组中合作探究，分享智慧提升认知。

    在选择两个完全一样的三角形转化为平行四边形的过程中，教师要关注呈现的素材的多样性，无论是怎样形状的两个完全一样的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以转化为与三角形等底等高的平行四边形。

图1

   在利用单个三角形推导面积公式的过程中，也需要教师引导学生寻找多种转化（图2、图3、图4）中的相同点。都是把三角形转化为等积的平行四边形，高与底中，有一个是原来的二分之一。

同时教师还可以引导从三角形的不同类别进行思考，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是不是都可以推导得到这一计算公式，从而保证推导结论的普遍性与准确性。

（6）回顾反思，感悟思想

回顾三角形面积计算的推导过程，无论是用一个三角形，还是用两个完全一样的三角形，在研究中有没有相似之处？引导关注，都是把新问题转化为已经解决的问题。在我们以前的研究中，有没有类似的经验？引发回忆，平行四边形的面积是转化为已经研究过的长方形的面积计算等等。

（7）链接历史，感受价值

其实早在两千多年前，九章算术中就已经研究得出了三角形面积的计算方法是 “半广以乘正从（zong)”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以证明，并配以生动形象的图（图5）。我们与前人虽然相隔千年，但数学的思想一脉相承，数学的研究一路相通。

图5

（8）大胆猜想，推广运用

这样的转化思想方法，不仅能解决三角形面积计算这样的新问题，你觉得还可能对于怎样的问题解决有帮助？引导学生基于经验大胆猜想，基于实践合理猜想，从而引出梯形面积计算这样的新问题，让学生带着问题、带着思考走出课堂，走进更大的研究空间。

从双基走向四基，从“基础知识、基本技能”到“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，多的不仅是目标表述，更需要找到一种合理、合适的途径，找到一套有效、有用的策略，而“春风化雨，归去来兮”或许就是基本数学思想渗透的一种目标境界。