摘要：1999年，新西兰教育部在小学数学阶段引入了运算能力项目。到目前为止，该项目已经成为 新西兰全国范围的一个数学专业发展项目，覆盖了新西兰所有的小学。数字框架是运算能力项目的核 心，它由策略和知识组成。运算能力项目通过诊断性访谈来进行评价。有研究证明：运算能力项目有利 于学生代数思维的发展、有利于学生运算能力的发展、有利于学生数感的形成与发展。运算能力项目的 很多理念和做法为我国的小学数学教学提供了借鉴：在小学阶段算术教学中渗透代数思维，注重小学生 的代数思维。

关键词：运算能力项目；代数思维；数感；归纳；小学

自从 世纪 年代以来，新西兰、澳大利亚 20 90 等一些西方国家对小学阶段的数学教学质量和学 生的数学成就给予了极大的关注，这些国家相继 在小学数学阶段推出了一些较大的研究项目以提 高学生的运算能力。[1]这些研究项目中具有较大 影响和代表性的是 年新西兰教育部在小学数 1999 学阶段引入的运算能力项目（ the Numeracy Project NP ，简称 ），也称为运算能力发展项目 （ ，简称 the Numeracy Development Project NDP ENP ANP ）。该项目由两个子项目 和 组成。 针对小学 年级（ 岁）学生的子项目称为低 1-3 5-7 年级运算能力项目（ ， the Early Numeracy Project 简称 ）；针对 年级（ 岁）学生的子项 ENP 4-6 8-10 目称为高年级运算能力项目（ the Advanced Numeracy Project ANP ，简称 ）。最初引入运算能 力项目时只包含 ， 年引入了 。 ENP 2001 ANP

运算能力项目首先在新西兰的一些小学进行 试验，取得经验后逐步推广，其规模逐渐扩大。 该项目的特征是有大量的教师和学生参与，并且 对从该项目获得的学生学习方面的信息进行了深 入的研究。到目前为止，该项目已经成为新西兰 全国范围的一个数学专业发展项目，覆盖了新西 兰所有的使用英语和毛利语教学的小学（新西兰 的官方语言为英语和毛利语）。[2]本文从该项目 的数字框架、诊断性访谈、对学生数学学习的影 响等方面做一介绍，希望为我国的数学教育提供 借鉴。

 一、运算能力项目的核心：数字框架

数字框架被认为是运算能力项目的核心和基 础，是保证运算能力项目成功的关键因素之 一。[2]建立数字框架的目的是帮助教师、家长和 学生理解数字知识学习和运算策略的发展阶段； 也为教师对学生的学习作出有效的反应提供了参 考和依据。数字框架将与数字有关的内容分为两 个主要部分：策略、知识。策略部分描述学生使 用数字估算答案、解决运算问题的心理过程；知 识部分列举了学生在算术阶段需要学习的重要知 识点。 1、数字框架的策略

  数字框架的策略部分由九个阶段组成，如图1 所示的倒三角形表明了策略部分的九个阶段。[3] 这九个阶段从总体上又可以被归为两类：“计数策略”和“部分——整体策略”。

前五个阶段（从阶段 到阶段 ）关注的是计 0 4 数。较高层次的策略发展阶段包含更多复杂的、 精致的计数技能。数字框架从阶段 ：自然发生 0 阶段开始，处于这一阶段的学生不会进行 以内 10 的计数。然后发展到阶段 ：一个一个的计数阶 1 段。阶段 ：借助材料从 开始计数阶段。阶段 ： 21 3 通过想象从 开始计数。阶段 ：高层次的计数， 1 4 在给定数字的基础上，继续向上或向下计数，而 不必从 开始计数。 1 数字框架较高级的四个阶段涉及更复杂的 “部分——整体”策略。在“部分——整体”策 略阶段，学生开始认识到数字是抽象的，能将数 字作为整体看待，同时能够运用数字性质方面的 知识，根据问题情境将数字分解成若干部分的 和，然后将数字重新组合，以更快速、准确地解 决问题。“部分——整体”策略的第一阶段也就 是总体策略发展的阶段 ：初期的加法阶段，涉及 5 有限的分解、重新组合的策略。而在阶段 ：高层 6 次的加法、初期的乘法阶段，涉及从大范围的策 略中选择有效的策略以解决加减法问题。更高层 次的是阶段 ：高层次的乘法、初期的比例阶段， 7 在该阶段学生选择策略以解决乘除法问题。阶段 8：高层次的比例阶段，该阶段包含分数、比例和 比率问题。策略的每个阶段都包含三个运算领 域：加法和减法、乘法和除法、比例和比率。

策略总体发展的九个阶段使确认和描述学生 解决问题时使用的心理策略的类型变得更容易， 可以帮助教师预测学生在进行算术运算的时候会 采用哪些策略。学生在策略发展阶段的进展表明 学生扩展了所具有的知识和可利用的策略。 2、数字框架的知识 数字框架的知识部分概括地论述了学生在算 术阶段所需要学习的知识中的重要内容。这些知 识是学生在解题中能够熟练地、有效地应用解题 策略的基础。在数字框架中，知识被分为下面的 几个部分：⑴数字识别：帮助儿童学习认识数 字。⑵数字顺序：帮助儿童学习数字的顺序、能 比较数字间的大小关系。⑶数字位置值：帮助儿 童学习十位、百位、千位，十分位、百分位、千 分位是如何使用的。⑷基本的事实：帮助学生学 习加减乘除的事实。

以同“策略发展阶段 ：高层次的计数”相对 4 应的知识为例，来详细进行说明。⑴数字识别： 学生能够识别 范围内的所有数字。⑵数字顺 0-100 序：学生能正确地比较 范围内任意两个数的 0-100 大小。对于给定 范围内任意一个的数字，学 0-100 生能以该数字为起点继续向前或向后计数。在 0-100范围内，学生能够两个两个地、五个五个地 跳跃计数。⑶数字位置值：学生将 看作是完整 10 的计数单位；能够理解“个位”、“十位”、 “百位”的含义；学生能够将 以内的两个数字 20 组合成数对，使这两个数字的和是 。⑷基本的 20 事实：学生能够记忆 以内的加减法。学生能够 20 掌握 以内任一数字的 倍是多少，以及相应数字 20 2 的 。 ，所以 的 是 等等。学生 1/2 10+10=20 20 1/2 10 能够很快地回忆起加倍的口诀，例如： ， 1+1 2+2 3+3 ， 等等。 3、数字框架中策略和知识的关系 策略和知识被认为存在相互依赖的关系。扎 实的知识基础对于学生扩展他们的数学学习策略 是必需的。知识通常是发展较高层次数学策略的 必备的前提条件。同时，使用较高层次的数学学 习策略会帮助学生获得新的数学知识。知识和策 略的关系可以用下面的图示来表示：

二、运算能力项目的评价方式：诊断性访谈

  运算能力项目通过诊断性访谈来进行评价。 诊断性访谈是确保运算能力项目成功的另一个关 键因素。[4]其实质是一种对每个学生单独进行的 诊断性测试；其目的是向教师提供学生具有的知 识和成功运用运算策略方面的有价值的信息。教 师通过诊断性访谈来对学生进行评价，监控学生 的发展。诊断性访谈通常与数字框架结合在一起 使用。

  自运算能力项目实施以来，新西兰教育部每 年都会对该项目实施评价以密切关注其对学生数 学成就的影响。参与运算能力项目的教师有两次 机会利用诊断性访谈来评价他们的学生。第一次 是在项目刚开始的时候，第二次在项目临结束 前。用这样的评价方式能很清晰地说明学生在该 项目中数学成就的进展。

  诊断性访谈有三个不同难度水平的形式。在 对学生进行诊断性访谈前，教师会向学生提供 “策略窗口问题”，学生在解决“策略窗口问 题”的一组问题时会使用一系列的策略，这些策 略层次的高低可能会有不同。教师会根据学生展 示出来的最高策略水平，结合数字框架列出的策 略水平的标准来决定对每个学生采用合适的形 式。[5]从这种意义上来说，数学能力项目认为学 生在策略水平上的运用并不是直线式的提高，而 是非线性发展的、反反复复的，在总体上是前进 的过程。这种工具可以帮助教师建立对每个学生 的数字部分知识掌握和运算策略运用的总体的认 识，帮助教师对学生的知识和策略做更具体的分 析。诊断性访谈评价很全面，涵盖了数字框架列 举的策略和知识的所有内容领域。策略部分包 含：加法和减法、乘法和除法、比例和比率。知 识部分包含：数字识别、数字的顺序、数字位置 值、基本的事实。

   三、运算能力项目对学生数学学习的影响

  到目前为止，对运算能力项目的两个子项目 ENP ANP 和 已经做了综合的、全面的评 价。[6][7][8][9]这些评价的结果表明：“运算能力项 目”无论在英语的教学环境中，还是在毛利语的 教学环境中，对于提高学生的数学成就是富有成 效的。学生不论年龄、性别、种族、学校所在的 地区、所在家庭的社会经济地位，他们的数学学 习成就都有不同程度的提高，学生也更愿意从事 数学学习活动。具体来说，运算能力项目对学生 数学学习的影响体现在以下几个方面。

 1、有利于学生代数思维的发展

   运算能力项目能够帮助学生完成从算术学习 向代数学习的过渡。[2][10]运算能力项目在学生正 式学习代数课程前就非常注重在学生的算术学习 中发展学生的代数思维、帮助学生理解代数的本 质。这与传统的将代数看作“归纳的算术”，认 为算术是代数的初期形式的理念有所不同。参与 运算能力项目的学生被鼓励采用一系列的心理策 略来解决算术问题，而不是仅仅依靠机械的运算 法则和基本的计算程序。虽然按照传统的教学方 式，学生会在代数学习中接触到这些策略，但 是，参与运算能力项目的学生有机会在解决算术 问题中就被教授如何运用这些策略。这会有助于 学生代数思维的发展，促进学生对代数的理解。 Irwin Britt 和 通过研究发现学生在解决算术问 题中使用补偿、分解、重新组合等策略为学生代 数思维的发展提供了基础。在解决算术问题时， 参与运算能力项目的学生要比那些没有参与该项 目的同龄的、同年级的学生更经常地、更有效地 使用本质上是代数的策略。[10]运算能力项目的理 念和实施的做法符合很多学者的观点，他们认 为：对于算术关系的理解是学习代数必备的前提条件。[11][12][13][14]

 2、有利于学生运算能力的发展

   参与运算能力项目的学生被鼓励采用一系列 的心理策略来解决算术问题，而不是仅仅依靠基 本的计算程序、步骤、方法来获取题目的答案。张文宇 傅海伦：新西兰小学运算能力项目的影响及启示- 51 - 该项目不仅关注学生获得的数学知识，更关注学 生数学策略的发展。这使学生在算术学习中的知 识和策略都得到了很大的发展。 有研究者为了考察运算能力项目对学生运算 能力的影响而进行了一个实验。[10]该实验包含431 名参与运算能力项目的学生和 名没有参与运算 468 能力项目的同龄的孩子。通过研究发现参与运算 能力项目的学生同那些没有参与该项目的同龄的 学生相比，能更为流利、准确地进行算术运算。 而且，在参与运算能力项目中，这些学生已经在 小学阶段就开始接受了专门的代数思维训练。参 与该项目的学生能够归纳他们的数字策略，将归 纳的数字策略应用到新的问题中。学生只有归纳 意识发展到一定的水平，才能够熟练地运用这些 策略。这主要得益于他们有大量的时间从事解题 策略的训练。[15]

3、有利于学生数感的形成与发展

   对于所有参与运算能力项目的学生来说，他 们最重要的收获之一就是他们的数感得到了发 展。[1][16]引入运算能力项目的目的之一就是提高 学生的数感、发展学生对于数字的理解和对算术 运算的理解。通过灵活的应用一系列的心理运算 策略，学生的数字知识和对于数字情境的反应能 力得到了提高。[17] 有学者进行研究，将参与该项目的各个年级 学生在参与项目之初时的数据和参与项目后的数 据进行了对比，研究结果表明学生的数感有了显 著的提高。例如：二年级的学生在“阶段4：高层次的计数”阶段或更高策略阶段的学生的比例， 从最初的 23%上升到了55%。三年级的学生在 “阶段 5：初期的加法”阶段或更高策略阶段的学生的比例，从最初的14%上升到了39%[1]

  总体上来说，运算能力项目不但发展了学生 的数字技能，而且对学生总体数学成就的提高也 具有积极的作用。自 年以来，新西兰参与了 1995 历次的 研究，四年级学生的总体数学成就 TIMSS 有了显著的提高， 的研究报告表明： TIMSS2003 新西兰四年级学生在 中的平均数学成 TIMSS2003 就要明显地好于 年四年级学生所取得的平均 1995 数学成就。[18]TIMSS2007的研究报告表明，新西 兰四年级学生在 年的平均数学成就要比 2007 1995 年高。但是四年级学生的平均数学成就在 年 2003 和 年之间并无显著的差距，这也暗示着在 2007 1995 2003 年和 年之间所作的提高学生数学成就的 举措是富有成效的。[19]而自 年开始实施的运 1999 算能力项目在其中发挥的重要作用自然不应被忽 视。

四、对我国数学教育的启示

   自20世纪80年代以来，如何帮助学生克服从算术学习向代数学习转化中遇到的困难一直是国 际数学教育界关注的热点。[20][21][22]我国的数学教 育研究者也认为从算术到代数的过渡是学生学习 数学认识上的一大难关。[23]运算能力项目为算术 思维向早期代数思维的转化提供了桥梁，这也是 帮助学生完成从算术学习向代数学习过渡的一个 有益的尝试。笔者认为在运算能力项目的经验中 最值得我们借鉴的在于：在小学阶段算术教学中 渗透代数思维，注重培养小学生的代数思维。运 算能力项目的很多理念和做法对我国的小学数学 教学提供了诸多借鉴。

   1、注重学生算术解题策略的教学

  在学生牢固地掌握数字知识的前提下，小学 算术教学的重点不应仅仅只是放在教给学生正 确、基本的计算程序、步骤、方法上，我们更应 该使学生掌握一系列的解题策略。包括加倍、补 偿、分割、重新组合等等。例如解决“ 8+7= ？” 的问题，可以采用加倍策略：8+7=8+8-1 ；凑“5”策略：8+7= 5+3+5+2 ；凑“10”策略：8+7= 8+2+5=10+5。使用凑“5 ”策略、凑“10” 策略的好处在于，学生对于 “整五数”、“整十数” 比较熟悉，而且也有利于简化计算。在学生熟练 地运用这些策略解决个位数计算的基础上，还可 以将这些策略应用于两位数、三位数的加减法运 算中，例如： ， 43+25=(40+20)+(3+5) 324-86 = 324-100 + 14等。

  实际上，在学生能够熟练地应用这些策略来 解决算术问题的时候，他们就会对运算涉及到的 数字关系产生一种意识和理解。这也同时说明， 不必依赖于抽象的代数符号，这些运算策略也是 可归纳的、可概括的。在算术表达式中，学生将 数字本身看作变量。 将这种数字的作用称为 Fu jii “准变量”。他这样来定义“准变量”：一个算术运算式或一组算术运算式，蕴含一种潜在的数学关系，在这种关系中，无论使用的数字是什 么，运算式都是正确的。[24]Irwin Britt 和 认为在算 术中能够成功地应用运算策略已经完成了从算术 向代数的转化。 也支持“代数思维蕴含在算 Steffe 术运算中”的观点。[13]他认为通过这样的方式， 儿童的数字知识和运算的图示能被实质上是代数 的方式建构。

   、在算术教学中为学生提供数字归纳的机会 2

  归纳不但为成功的算术运算思维提供基 础，[25]而且归纳意识在某种程度上代表着代数思 维，被认为是进行代数推理的基本的能力。[26][27] 在数学领域中，归纳意识和代数思维之间的联系 被很多学者所赞同。[24][28][29][30] 我们在算术教学中可以多向学生提供进行数 字归纳的机会，培养学生的归纳能力，使小学的 算术课堂融合潜在的、丰富的代数本质。例如：可以向低年级的学生呈现下面的问题：“96-52+ 52=96正确吗？为什么？”当然我们提出这一问 题的目的并不在于让学生通过运算来验证上面的 等式（当然不排除有的学生会用先做减法，再做 加法来验证这一命题的真伪），也不仅仅在于96 和 这两个特定的数字。在这一问题的基础上， 52 继续向学生提供一系列类似的问题：例如 “427-285+285=427 正确吗？ 1253-569+569=1253 正确吗？”等等（当然不只限于这两个例子）。 可以让学生通过计算来验证上面的一系列等式是 否正确，然后引导学生思考，这样的一系列等式 有什么规律？最后，我们可以向学生介绍下面的 表达式：□-○+○=□（“□”和“○”均代表数字），并引导学生认识到：无论第一个数是什 么，只要保证减去和再加上的数是同一个数，上 面的表达式就是正确的。

  在小学的算术教学中有很多类似的培养学生 归纳意识的机会，教师更应该充分地利用这样的 机会，而不要将其错过。这正如 和 Kaput Blanton 倡导的小学教师要具备“代数的眼睛和耳朵”， 以发现数学归纳的机会。[28]