[摘 要] 运算能力一直是中国小学生举世公认的强项，然而，一段时间以来，它似乎出现了“动 摇”，对于“运算能力”，广大数学教师理解得不透，带来实践中“简单化”“异化”，令其饱受质疑。深刻认知其内涵，准确把握内容要求，有助于我们提高“定力”，探索丰富而有效的数学教学策略。强化计算原理的理解，突出数学基本思想的感悟，注重计算心理的分析，是我们该有的态度与应对之策！

[关键词] 数学教学；运算能力；内涵；要求；路径

我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以 下简称“课标2011年版”）明确把“运算能力”作为数 学教学中应特别重视的10个重要能力之一。在小学各个年级都包括不同层次的计算教学，这些内容 占据着小学数学教学的大部分时间。运算不仅仅是“数与代数”领域的重要内容，其他部分的数学内 容也都与运算有着密切的联系。尽管如此，广大教师对“运算能力”的理解还是不够深入，以至于在实施过程中出现异化现象，对此必须引起重视，反思 教学中存在的问题，提高这部分内容的教学质量。

一、“运算能力”的内涵解读

（一）课标中的“运算能力” “课标2011年版”中指出：“运算能力主要是指 能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。 培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合 理简洁的运算途径解决问题。”[1] 课标给出的解释简明扼要，便于教师理解与记 忆，且耐人寻味。第一句话，采用“行为条件+行为 表现”的句法结构表述运算能力的内涵，“根据法则 和运算律”是行为条件，“正确地进行运算”是行为 表现。第二句话，是对前句的补充与强化。一方面 是对运算能力的价值定位，从“行为程度”的视角提 出期望。同时，也为一线教师具体实践，提供方法 论的指引。这两句话，有力地刻画出运算能力的三 个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理 （运算途径简洁，是方法合理的自然结果）。从字面 意思可以解读为：运算能力主要是有根有据地正确 运算的能力，它的作用是促进理解与应用。[2] 言下 之意：运算能力的培养，主要依靠根据法则和运算 律提高正确性，通过理解算理与灵活运用运算解决 问题，发展能力。不妨做这样的区分：运算是一种 行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。能 够按照一定的程序与步骤进行运算，类属运算技 能。不仅会根据法则和运算律正确计算，而且理解 算理，能够根据题目条件寻求合理简洁的运算途 径，方为高层次的运算能力。

（二）研讨中的“运算能力”

1.综合能力说

即认为运算能力是一种综合能力。如“运算能 力是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合”[3]。也有学者这样描述：“运算能力不是简单的加、减、乘、除的计算，而是与观察能力、记忆能力、 理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关 的由低级到高级的综合能力。”[4]

苏联教育心理学家克鲁捷茨基的研究，给出了数学能力的九种成分：（1）对于数学材料的形 式化知觉的能力，掌握题目的形式结构的能力。 （2）在数量关系和空间关系方面，以及在数和字 母符号方面进行逻辑思维的能力；用数学符号进 行思维的能力。（3）对数学对象、关系和运算的 迅速而广泛掌握的能力。（4）简缩数学推理过程 和相应的运算系统的能力；以减缩的结构进行思 维的能力。（5）数学活动中心理过程的灵活性。 （6）力求解法的简洁、清楚、经济和合理。（7）迅 速和随意地改变心理过程的方向，从正向思维序 列转到逆向思维序列的能力（数学推理中心理过 程的可逆性）。（8）数学记忆（对数学关系、类型 特征、论证或证明的模式、解题的方法以及探索 的原则等的概括记忆）。（9）数学气质。[5]

2. 主要表现说

主要表现说，采用描述性的定义方式，即如果 某学生有怎样的行为程度，那么该学生就具有相对 应的运算能力。如“运算能力主要表现为：根据中 学数学的法则、公式等进行数学运算中表现出来的 正确、合理、灵活、熟练程度上；还表现在理解运算 的算理，根据题目条件寻求最合理、最简捷运算途 径的水平上”[6]。

也有学者认为学生运算能力表现在数学解题 活动的几个方面：（1）迅速、正确地感知数学题目的 形式结构（关系及其特点）的概括化能力（对数学材 料的形式化知觉能力）。（2）根据题目类型（运算和 关系的特点），正确地定出解法模式，根据运算法 则、运算律或关系及其性质，定出化归的方向、解算 的程序和变换的方法。（3）心理过程的灵活性，即心 理活动迅速重组的能力。打破原有的解法模式而 代之以一个新的模式的能力。多方面去试探题目 的解法，摆脱思维定式的影响。（4）力求解法简洁、 清楚、经济与合理。（5）对题目类型、解法模式和原 则等的概括化记忆（这种记忆特别有利于数学知识和方法的迁移）。”[7]

上述研究的共同点在于，主要针对中学数学， 侧重于应用运算解决问题的过程。[8] 基于上述研究成果，我们可以得到这样一些有益的启示：首先， “运算能力”具有一定的层次性和发展性。从运算 的内容看，由非负数到有理数，再到实数；由整数运算，到分式、根式运算。运算能力随着知识面的不 断拓展，抽象程度的逐渐提高而不断发展。其次， 运算能力并非一种单纯的、孤立的数学能力，它需 要正确理解相关知识，辨识分清运算条件，合理选 择运算方法，有效设计运算步骤，还要使运算符合 算律、算理，最终尽可能简洁地获得运算结果，它是算和思的结合、操作和思辨的融合。第三，正确是运算的基本要求，有据是正确运算的前提，合理是 运算得以进行的条件，简洁是运算的质量刻画。第 四，“运算能力”的培养是目标与过程的有机统一体，不可能一蹴而就，其提升需要学生个体内部积 极主动的自我建构过程。这些认知有助于我们寻 求科学有效的教学策略。

二、“运算能力”的内容要求

小学数学中“数的运算”教学内容，主要包括非负整数的运算，非负分数、小数的运算。对于这 部分内容，“课标 2011 年版”提出了具体要求[9]，参见表1。

与过去相比，“数的运算”内容要求突出体现以 下两方面特点：一是突出培养运算能力的要求。在 继承课程改革实验积累的成功经验的同时，提出了 运算能力培养的要求。口算方面，把一位数乘、除 两位数的口算学习从第二学段下移到第一学段；笔 算方面，第一学段增加整数两步四则混合运算学习 要求；估算方面，要求更明确具体。二是突出发展 学科素养的要求。课堂教学不仅要重视让学生获 取知识，更要重视发展学生的学科素养，培养学生 智慧。智慧表现在思考的过程中，是隐性知识的内 化与升华。“课标2011年版”内容要求中增加“经历 与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想 法”[10]，突出学生探究的过程、思考的过程、反思的过程，以帮助学生从中积累数学活动经验，发展数学智慧。

三、“运算能力”的提升路径 

小学数学从它的前身“小学堂算术”诞生之日 起，就将计算列为首要的学习任务。[11]“课标 2011 年版”将核心词从六个增加至十个，“计算能力”改 为“运算能力”。回顾总结关于它的教学研究，我们 不难发现存在的最大问题是一线教师对之理解的 简单粗浅化，认为“运算能力”的培养就是让学生会 计算，要让学生会计算，途径就是练，机械地讲解、反复的练习现象严重。运算能力的提升，既要教 “术”又要教“理”；既要关注“正确求解”又要关注背 后的“思想方法”；既要依托“智力因素”又要发挥 “非智力因素”的作用。

表1 “课标2011年版”对“运算能力”的具体要求

（一）强化对计算原理的理解

算理即计算的原理，是指四则运算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学 基础理论知识。算理为算法提供理论依据，是对算法的构建与解释。[12] 算理的厘清是向学生呈现知识形成的过程。没有算理的算法是机械的，不讲算理的教学是低效的。

1.重视基本概念的教学

概念反映着客观事物的本质属性以及事物之间的联系。计算教学中重视基本概念的教学，有助 于学生感悟算理，推导算法，为学生计算能力的提 升提供有力的支撑。[13]

“9 加几”教学（苏教版小学数学教材一年级上册第十单元）。教材创设情境：一个盒子可以装10 个苹果，盒子里已经放了9个红苹果，盒子外有4个绿苹果。要求“一共有多少个苹果？”应该将红苹果 与绿苹果合起来，所以用加法计算，这依赖于学生 对“加法意义”的理解与掌握。“9+4”的计算，学生可 以从加数的基数意义角度思考：1、2、3……12、13， 依次数完所有的苹果；也可以结合加数的序数意义 建构，红苹果有9个，绿苹果有4个，可以在9的后面 接着数四个数。数数的过程与加法的意义、算理的 明晰融为一体。“凑十法”是对上述数数过程的提炼 与优化。教师引导学生观察，盒子里有10格，放了9 的苹果，再放入一个苹果，正好10个，盒子外还剩下 3个苹果，一共13个苹果，接着尝试用算式来表达算 理，对“凑十法”进一步感知，这其中需要数的组成 中“分”与“合”等基本概念的支撑。[14]

2.完善算理的提升过程

“计算教学既需要让学生在直观中理解算理， 也要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体 验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。”实 践中，对于算理的教学应当经历“直观操作——表 象操作——抽象分析”的提升过程。 “十几减九”教学（苏教版小学数学教材一年级 下册第一单元）。教材以“13-9”为例，呈现如下的 情境：盒子里有10个桃，盒子外有3个桃，小猴买9 个桃。还剩多少个桃？列式为：13-9=（）。第一步， 安排学生直观操作，要求学生取出 1 捆（10 根）和 3 根小棒，从中取走9根。可以先取走3根，再拆开1 捆，取走6根，剩下4根；也可以直接从1捆中取走9 根，将剩下的1根和3根加起来；还可以先拆开整捆与3根合并，从13根里取走9根。第二步，让学生在 同桌交流的基础上说一说自己的操作方法，学生通 常会看着自己的小棒进行复述，虽有直观，但成分 在减少。第三步，对操作方法的比较分析，让学生 讨论思考，这三种操作方法之间有什么不同的地 方？又有什么相同之处？哪种方法更简便？在这 样的教学中，直观与抽象相互促进，有助于学生真 正地理解算理，掌握算法。

3.加强算理的多向沟通

北京师范大学周玉仁教授对小学生的数学学 习过程曾这样阐述：小学生数学学习是一个经验激 活、利用、调整、积累、提升的过程，是“对生活中的数学现象的解读”，是“建立在经验基础之上的一个 主动建构的过程”。[15] 计算教学中，算理的理解也符 合上述特征。

首先是纵向的沟通。以“分数除法”为例。教材分多课时，分别教学分数除以整数、整数除以分 数、分数除以分数等。其基本的原理都是除法的意 义，把一个数平均分成几份或者一个数里面有多少 个另一个数。教学中适时的比较与沟通，有利于学 生分数除法的统一算法：甲数除以乙数（不为0），等 于甲数乘以乙数的倒数。

其次是横向的沟通。以“加减法”为例。纵观 加、减法运算内容编排，无论是整数加减法“相同数 位对齐”，小数加、减法“小数点对齐”，还是分数加、减法“先通分”，其本质都是为了相同计数单位的数 相加减，不仅突出了算法的本质，而且沟通了知识 间内在联系，实现知识“互联”。

（二）突出对基本数学思想的感悟

史宁中教授认为，“数学思想需要满足两个条 件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些 思想；二是学习过数学的人所具有的思维特征。可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。”[16] 计算 教学对数学基本思想的感悟有其自身的优势。

1. 在算例的比较中感悟抽象的思想

从具体的例子中抽象出相应的数学规律，完成算法的归纳，实现方法的优化，是计算教学的任务 之一。这里的抽象要重点关注现象中隐含的特征 和变化中不变的共性。经历这样的学习过程，有助 于学生进一步感悟抽象的思想，提高抽象的水平。 “有趣的乘法计算”教学（苏教版小学数学教材 三年级上册第一单元）。探索“同头尾合十”的两位 数乘两位数的计算规律时，教材首先呈现了三道竖 式：“22×28”“35×35”“56×54”。教学时，可以先要求 学生仔细观察、比较这几个算式，说说它们有什么 共同的特点，在讨论和交流中逐步进行抽象，明确： 这些算式都是两位数乘两位数，每个算式中两个乘 数十位上的数是相同的，个位上的数相加正好等于 10。在此基础上，要求学生算出每个算式的乘积， 继续观察、比较得到的几个乘积，并适当启发：每题 积的末两位各是多少？积的末两位的数各是由哪 两个数相乘得到的？每题积里末两位前面的数各 是多少？它们又可看作哪两个数的乘积？由此，完 成抽象：积的末两位是两个乘数个位上的数相乘的 积，而末两位前面则是两个乘数十位上的数与比它 大1的数相乘的积。

2. 在猜想的验证中感悟推理的思想

小学数学教学中，对于结论的得出多以不完全 归纳的得出。基于不完全归纳法得出的结论真假 不能确定，因此需要通过证明进一步确认其可靠 性。根据小学生的年龄特点和认知水平，对经由不 完全归纳所得到的结论一般不要求进行严格意义 的证明，只要求他们采用合适的方式进行验证。这 里所说的验证，一般是指举例验证。 “和与积的奇偶性”教学（苏教版小学数学教材 五年级下册第三单元）。例如，学生依据列出的若 干个具体算式归纳出“当两个加数都是偶数时，和 一定是偶数；当两个加数都是奇数时，和一定也是 偶数；当两个加数中，一个是奇数，另一个是偶数 时，和一定是奇数”等结论之后，可以告诉他们：这 些结论都是通过对几个具体例子的观察得到的，是 否一定正确还不好说，所以只是一些猜想。由此， 进一步启发：你能再举一些例子验证上面的猜想 吗？你能找到不符合上面这些猜想的反例吗？通 过这样的活动，一方面可以使相关猜想的可靠性得 到增强，另一方面也有助于学生初步感受数学推理的严谨性。

3. 在有序的表达中感悟模型思想

数学是思维的体操，语言是思维的外壳。计算 教学中，让学生有序地表达，不仅有助于算法的理 解，还能促进算法模型的迁移与新建！

“两位数乘两位数”笔算教学（苏教版小学数学 教材三年级下册第一单元）。学生已有的算法模型 是两位数乘一位数的“乘、乘、加”，与本课内容的学 习高度关联。教学中，我们可以激活学生已有的经 验，结合具体竖式，表述两位数乘一位数的计算方法，“乘、乘、加”的模型得以明晰。在此基础上，出 示例题：每箱迷你南瓜 24 个，53 箱一共有多少个？ 竖式计算中，一方面，可以让学生将前两步算式标 注在竖式旁边；另一方面，在学生完成计算后，要让学生说一说每一步是怎么算的？求出的是什么量？如图1引导。

同时，为了避免无关数字的相互干扰，竖式过 程中可采用“遮挡法”，例题中，当计算“24”乘“3” 时，可以将“53”中的“5”遮挡住，当计算“24”乘“5” 时，可以将“53”中的“3”遮挡住，这样的遮挡将两位 数乘两位“转化”为类似两位数乘一位数，算法模型 在迁移中得以重组！

（三）注重对计算心理的分析

对于计算中学生的错误，我们通常用“粗心大 意”这个词来笼统地概括，背后的心理层面的原因思考甚少，因而，对于错误的对策不多——重复讲解、反复练习；效果不佳——一讲再讲、一错再错。 如果我们从心理层面去分析学生计算时的状态，可能会给计算教学带来新的启发。

1. 感知粗略：区分不精细

计算技能的熟练需要一定量的反复练习，这种练习还常常处于同一个思维层面。因而，计算教学往往会给师生留下机械、重复的印象。小学生笼统、随意的感知特点导致计算时出现看错数字、抄错运算符号等现象。如把“35”写成“53”，把“-”写 成“+”，等等。 学生进行计算，必然要通过自己的感觉器官与 数据、符号建立联系。[17] 在计算教学中，教师要发挥 “先入为主”心理定式的积极作用，重视学生先前的学习，重视学生的首次感知，给学生留下正确、深刻的表象；其次，要重视学生感知的监督，即要养成检 查、比对的习惯，达到强化感知、建立清晰表象的目的。

2. 注意分散：动作不同步

小学生，尤其是小学低年级学生，无意注意占据主导地位，到了中高年级，开始向有意注意转换， 这也从一个角度解释了随着年级的升高，学生计算层面的低级错误减少的原因。小学数学中的计算教学，多安排在低中年级，这符合数学教学的逻辑顺序，但与学生注意力的现状存在冲突。 小学生的注意持续时间短还具有明显的情绪特点，往往被鲜艳的色彩、富有趣味的故事等所吸引。计算中单调乏味的数字与符号，机械呆板的讲解与练习难以吸引学生的注意。因此，教学中要运用生动活泼的教学方式激发学生兴趣，如在新授环节，我们可以借助学生喜闻乐见的生活情境、故事 情境展开；在探究中，让学生成为主人，小组交流、 相互批改等方式进行；在练习环节，可以适当“小比 赛”等形式激励。

3. 思维定式：应用不清晰

思维定式也称“惯性思维”，是指按照已有的思 维活动经验，定型化了的思维路线、方式、程序或模 型。[18] 对于学习而言，思维定式犹如一把双刃剑，对 类似内容的学习产生正向的推动力，而遇到“形似 神非”的问题时，思维定式会造成学生不假思索的套用，干扰新知的学习。 打破思维定式，教学中，较为有效的方法是对 比练习与变式练习。对比练习在现行的各版本的 数学教材中均有安排，教者应该为学生的观察、比 较、辨析提供足够的时空；变式练习即一题多变式 练习，有助于学生提高思维的深刻性与警惕性，呈 现知识的形成过程。比如“24×（ 12 + 13 ）”，在学生简 便计算后，可以将原题稍作改变为：“24÷（ 12 + 13 ）”， 引导学生思考探究。

4. 记忆较弱：提取不顺畅

记忆时间在几秒左右的记忆称之为短时记忆，这种记忆方法在计算时经常用。如将题目中的数 据提取，列成算式，将第一步的结果代入下一步等 等。在简单的计算中，学生应对自如。但随着计算 的复杂程度加深，对学生的记忆提出了更高的要 求，比如两位数乘两位数（连续进位），其中，既有记 忆的成分，也有运算的成分，学生错误较多。 正确计算需要学生及时、准确、完整地提取储 存的信息，提髙学生的记忆力应该是计算教学的一 个分支。教学中，一方面可以进行针对性的训练， 如从200开始，让学生连续减去8，或者出示一个数 9，学生连续加9等，这种“接力”式的训练，需要学生 记住前一步口算后的得数，有助于记忆力的提升；另一方面，计算过程中的辅助环节，也有助于学生记忆，以“48×17”为例，在计算7×48时，七八五十六，可以让学生将进位的5写在相应的位置，四七二十 八，可以让学生将“28”写在草稿纸上，算出28加5后 再按第一步的程序进行，事实上，对于一些后进生28 加5都达不到脱口而出。 “运算能力”对于学生数学的学习具有十分重要 的作用。我们应该从更高层次理解“运算能力”，准 确把握其内容要求，并在教学中，不断探寻有效的教 学策略，为提升学生的“运算能力”而不懈追求。