运算能力是学习数学学科能力中一项核心能力，是现 代社会个体发展必需的基本能力. 随着我国基础教育数学 新课程改革不断深入，教育界对运算能力关注点和教育价 值的争论，渐近形成共识：中小学生的运算能力培养是必须 的，运算能力的欠缺成为制约学生特别是高年级学生数学 能力的提高和问题解决的瓶颈.但何谓运算能力？其由哪些 要素组成？中小学生的运算能力具有怎样的水平差异性？如 何判断学生形成了某层次的运算能力，其具体指标是什么？ 我们认为，培养学生运算能力需要加强对运算能力重要性 的认识，明确运算能力的内涵、要素结构和水平差异，制定 切实可行、用于判断学生运算能力水平的评价指标，这对改 进我国中小学运算教学实践，提高评价水平，实现运算的教 育价值有着重要意义. 1 运算能力概述 运算在中小学数学教学中贯穿始终，是数学学习中的 一项重要活动.其内涵是在运算律指导下，对具体式子进行 变形的演绎过程. 如果抽去变形中的具体内容而考察其本 质，运算可以理解为特殊的映射，映射又可以看成运算对 象.按照心理过程分类，运算形式包括口算（心算）、笔算、估 算、借助计算器进行复杂的计算和探索问题.中小学数学的 运算主要涉及数的四则运算与式的各种代数运算（整式、分 式、根式、方程运算），初等超越运算（指数运算、对数运算、 三角运算），向量运算，求导数、求积分的初步运算，概率运 算和统计中的数据处理，初等的、简单的“集合运算”和“逻 辑运算”. 运算能力指运用有关运算的知识进行运算、推理，能够 准确、合理、高效、简约、创新地完成数学运算活动任务的个 性心理特征.运算能力具有综合性的特点，与其他能力尤其 是数感、符号感有着密切联系.运算能力的重要意义表现在： 第一，在日常生活中有广泛的应用；第二，在发展运算能力 的基础上，有益于培养其他的数学能力；第三，运算能力是 学习天文、地理、物理、化学等学科的前提.目前，加强和提 高学生的运算能力已成为国际数学教育改革的重要内容之 一.美国、日本、新加坡等国对课程标准中的运算能力提出 了相应的要求.如，继第三次国际数学与科学教育研究，美国 进行了一系列针对运算能力的教育改革，提出“使用高效的 与精确的运算方式进行运算是非常必要的，学生还应学会 使用不同的运算方式与合理的运算规则进行复杂的运算， 其中包括笔算、心算、估算等.熟练运算是理解的前提.”

明确运算能力的结构要素，有利于进一步揭示数学运 算能力的内涵，深入认识其实质；有利于帮助教师更加准确 地诊断学生的运算能力特征，针对学生已有的数学运算能 力结构因材施教，提高教学效率；有利于对学生运算能力做 出客观的评价.运算能力从运算内容看，包含数的运算能力 和符号运算能力；从运算过程看，运算能力包括分析运算条 件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列 过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.[1]曹才翰[2]、罗增儒[3]、徐有表[4]、章士藻[5]、简 洪权[6]、林崇德[7]等学者关于运算能力结构分析，虽未达成统 一观点，但从不同层面上关注中小学数学运算目标，具体体 现为合理、准确、高效、灵活、简约、创新要求.按照运算能力 目标要求，我们认为，运算能力结构要素由以下几个部分组 成： 2.1 合理运算 （1） 由具体运算例子，概括出一般运算法则、定律、性 质及其他规律或技巧，明白算理、基本步骤与过程，能自觉 做到每步运算依据充分；（2） 了解某种运算的知识到形成 运算能力的过程也是有层次的，知道运算的意义和作用，运 用位值观念以及数和运算的性质帮助运算；（3） 能模仿规 范，正确运用公式和法则进行计算；（4） 判断运算结果的合 理性，对运算结果合理性的觉察力，具备运算反思能力和检 验能力，检验意识；（5） 对预期结果的估计能力，利用估算 检验笔算和计算器结果的合理性. 2.2 准确运算 （1） 明确所采用运算方法的可行性，对可能的结果做 出准确的判断；（2） 准确设计、选择、构造和运用算法；（3） 及时有效地调整运算，控制运算的执行，运用各种方式检查 运算结果的正确性；（4） 准确地理解、表述并使用相当的表 达，用文字和符号表示数之间的相等关系，变换复杂的字母 表达式，识别数字模式和序列，并进行设计和拓展. 2.3 高效运算 （1） 分析运算条件过程中，要具备题设条件的感知力 和信息的挖掘能力；（2） 探究运算方向过程中，要具备分析 解决有关词语和实际问题，选择相关信息，进行适当运算和 解决问题的能力；（3） 选择运算公式，确定运算程序过程 中，要具备对各种运算联系的理解和运算方法的选择能力， 在心算、笔算和计算器使用中选择运算策略、数学思想和方 法综合运用能力；（4） 调整运算过程中，善于发现运算过程 中出现的错误并及时纠正；（5） 运算过程中自我评价能力. 2.4 灵活运算 （1） 联系数学活动经验，善于比较分析运算结果，灵活 把握数学概念，运用数学技巧，紧扣目标展开思索；（2） 善 于利用已有知识、技巧和经验，从多侧面弄懂数学问题，能 根据不同题型或题目的不同要求，选取适当的解题策略，能 用多种方法解决同一运算问题；（3） 善于进行数和算式的 等值变形、公式的等价变形，适当选择公式，灵活运用运算 定律、法则和公式；（4） 善于将公式中的变元及方程中的未 知量灵活代换；（5） 从一种运算转向它的逆运算. 2.5 简约运算 （1） 高水平地把握计算技巧、运算策略，有意识地控制 运算进程；（2） 运算步骤简洁明快，完成运算耗时少；（3） 懂得快速、准确的估算方法，并能有效地应用；（4） 数学运 算最优化方法的选择能力. 2.6 创新运算 （1） 善于用独特的思考方式去探索、发现、概括运算方 法和技巧；（2） 善于用独特的方式，去理解和解释运算方法 和规律；（3）善于用独特、新颖的方法进行运算；（4） 在运算 效果上，有独到之处. 3 运算能力的水平层次 运算能力的形成有自身的特点和规律的，总是从简单 到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展，是连 贯的和可以按水平适当分段的过程. 高质量的教育应以研 究和掌握学生心理发展规律、经验活动水平为前提，关注不 同阶段的学生在运算能力水平上呈现不同的层次，提高培 养学生的运算能力实效性. 运算能力水平划分相关研究已达成的共识认为：运算 技能是运算能力的低水平层次，表现为审题、正确理解定 义、数值计算、模糊估算，正确地运用各种概念、公式、法则 等进行数学运算，做代数变换，包括对算法的选择以及对所 采用算法合理性的判断，还包括达到一定的运算速度.运算 能力是在获得知识和技能的基础上形成的，与运算技能相 比，是一个人的更深刻、更概括、更具有个性的心理特征，体 现数学思想方法的综合运用. 我国数学课程标准义务教育阶段的运算能力按照三个 学段呈现水平层次[8]，普通高中阶段注重提高学生的运算求 解能力，水平层次的差异体现在内容标准部分，与知识点联 系密切.分析可见，我国的《标准》关于运算能力的要求在不 同学段呈现从低到高的水平差异，但由于现行的《标准》关 于数学运算能力要求涵盖于知识技能的表述中，表现在更 多地倾向于知识和技能的掌握，对学生运算能力表现的标 准是笼统、不具体的，忽视了运算能力表现的变化性、差异 性和可操作性，而仅仅考虑知识掌握的水平差异性. 综合分析澳大利亚维多利亚州《课程与标准框架》关于 数学推理能力 6 个水平的划分[9]和美国小学、初高中数学运 算能力表现标准[10]，结合我国中小学运算内容标准，我们将 中小学数学运算能力水平划分为三个层次. 3.1 初级水平 计算和估计物品的大小，回顾简单的双倍现象；在问题 情境中，顺数、倒数以及简单的心算；使用倍数、接近倍数和 满十进一等策略做加减法；使用材料和图表将加减乘除模 式化，在确认模式基础上，运用位值为基础的非正式的书写 方法解决加减法问题，并加以认识和拓展；发展小数或简分 数的加减法，乘数为两位数的乘法和除数为个位数的除法 的运算能力；将这些方法应用到货币和非正式的测量单位 上；口头表达实际情境中的加减乘除过程，并用具体的格式 表示这些运算；进行简单的四则运算的心算；简化已知的笔 算策略；确认、区分和扩展了数的模式，自动回忆乘、除法的 知识，选择和运用策略来估测和进行心算；练习解决需要一 步以上运算的问题，并选择与解决问题相关的信息；区分乘 以和除以一个大于或小于自身的数的意义；用于计算小数、 简分数和百分数的估测策略的范围也得到扩展；笔算方法 得到巩固和延伸；会在笔算、计算器和估算等方法之间作恰 当的选择.明智地运用科学计算器，同时更加自信地进行分 数、小数和百分数的计算，开始熟悉涉及数字化数据的计算 机应用，诸如电子制表软件；计算由问题情景中得出，包括 已知的比率和直接比例，能够使用比例描述数量间的正比 或反比关系，解决包含有比例的问题，在坐标几何中和解决 计算问题时能根据自己对比例的理解进行运用.3.2 中级水平 用适当方法连贯并准确地进行有理数的加减乘除运 算，将有理数自乘得整数幂；应用和理解逆关系，用逆运算 来确定方程中的未知量；准确地运用与转换不同种类和形 式的有理数；能够运用比率、百分比、负的乘幂以及科学记 数法，理解百分比并以之作为比较不同规模或变化大小的 量的方法，使用比率与比例表示“部分对部分”与“整体对整 体”的关系，相应地推理解决问题，认识常数因子变化的乘 法性质问题；用长度与相对长度的意义及十进位值估计与 比较有理数；以数字系统间的关系以及计算间的关系的知 识为基础对计算方法做出合理选择；能够熟练地用各种形 式的有理数进行计算，并能熟练运用简单的无理数表示，并 表达近似值为无理数的有理数；能够监控自己的计算并检验 结果的精确性和合理性，根据估算的目的和已知信息的精 确性决定如何对估算进行判断. 3.3 高级水平 用加减乘除、指数、开方形成数与代数的表示；理解与 运算，如相反数、倒数、乘方、开方、取对数；熟练运算技巧， 理解它们的典型意义和应用；理解和应用数的系统，包括自 然数、整数、有理数、实数；将数表示成小数或分数形式，用 科学记数法表示，在数轴上标出数，在坐标平面内标出数 对；用顺序关系、差、比率、比例、百分数及成比例的变化比 较数；在涉及部分—全体关系与成比例地扩大及缩小时进 行推理；理解无量纲的数，如比例、百分数、乘法因子，以及 有具体计量单位的数，如有长度、时间、比率单位的数；在涉 及集合（并与交）与排列（排列与组合）的情况下执行计数程 序；初等超越运算（指数运算、对数运算、三角运算）；向量运 算；求导数、求积分的初步运算；概率运算和统计中的较复 杂数据处理；用科学计算器有效地实行复杂的计算；认识和 表示几本书的模型，如包含倍数、正方形、立方体的模型；初 等的、简单的“逻辑运算”.

 4 运算能力的评价指标 运算能力表现是学生在运算过程中表现出来的、比较 稳定的心理和行为特征，是可观察和外显的.因此，每个运 算能力水平都应有一套评价指标，教师、家长和学生可以利 用指标作为评价基础，判断是否已达到标准所预期的推理 能力水平.在新课标实施以前，教学大纲对学生运算能力的 评价标准是“快速、准确、简便、灵活”，主要以准确率和速度 作为衡量运算能力的标准.新课改以来，与运算能力密切相 关的数感、符号感进入数学教育的视野，运算不仅指掌握算 理进行笔算、精算，评价运算能力的指标也不仅局限于速度和准确.运算及运算能力内涵的深化和拓展，为如何评价运 算能力提出了新的课题. 运算能力的评价指标用于评估学 生运算能力发展的水平层次，澳大利亚维多利亚州《课程与 标准框架》指出“指标并不以狭隘限定的方式来指定一些必 须完成的专门任务”，“并不规定和限制学生进行广泛多样 的学习活动和任务”.表 1 中为美国小学数学能力理解数与 运算概念评价指标的部分描述，表 2 为中澳大利亚课程标 准中关于心算和估算学习结果与评价指标描述. 美国和澳大利亚数学运算能力表现评价指标与运算过 程（而不是知识点）紧密联系，结合运算过程的各环节对于 运算能力要求的水平，描述运算能力各结构要素下相应的 能力表现，按照不同水平学习结果，以具体的可见的行动描 述作为水平要求的具体评价指标，指标描述呈现具体、清 晰、通俗易懂的特点，做到了体现不同层次水平（知识、经验 的积累和方法掌握）的要求，将抽象的内隐的能力要求转化 为外显的可以测评的指标体系，对于指导教师教学、评价学 生学习结果和家长了解和督促学业具备可操作的价值，对 于我国运算能力水平指标的设定有一定借鉴意义. 综上所述，我国关于运算能力表现的课程理论与实践， 首先需要拓宽和深刻理解运算能力的内涵，特别关注数感、 符号感与运算能力的密切联系，明确其要素结构，认识发展 运算能力同过程与目标紧密联系；其次，设定运算能力的发 展目标应遵照循序渐进的原则，依据学生心理发展规律及 过程要求，体现分层级水平的特点；再次，后续研究需要完 善对学生基于达成目标的学习水平的描述，即评价指标的 制定.只有在水平层次清晰，指标可操作性强的能力表现标 准指导下，才能有效地将运算能力内隐的心理活动转化为 外显的行为表现，有益于运算能力发展目标的系统实现.