一、什么是思维过程可视化

思维过程可视化是指以发展学生的学科核心素养（思维水平）为目标，师生在教与学的过程中使用实物、教具、模型、图形、语言与符号相互组合，把本来不可见的思维（思考方法和思考路径）呈现出来，清晰可见，便于理解和记忆，有效提高信息加工及信息传递的效能，是一种化隐性抽象为显性直观的教学策略。

教师的教学，是以学生的“学”为起点，学得有效为最终目的。教师在教学中应遵循教学活动的客观规律，以尽量少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的教学效果。“教学有效”包括三个层面的意义：有效果——对教学活动结果和预期教学目标的吻合程度的评价；有效率——对教学作为精神性生产活动的经济学描述，即教学产出与教学投入之比，或有效教学时间与实际教学时间之比；有效益——是对教学目标与特定的社会和个人的教育需求是否吻合，即关注“质”的规定吻合程度及“量”的规定的评价。有效教学，目标指向学生能力素养的进步和发展。

为此，在小学数学课堂教学中，通过问题情境、文字与图式、教具学具的适切操作以及语言表述与数学符号的转换，将抽象的数学思考方法、过程借助具体感性媒介表达，便于记忆理解，实施有效教学，这样使得学生对数学有深度思考，促进学生的高阶思维发展，积淀数学核心素养。

二、为什么要提出思维过程可视化

1.教材较少呈现知识发生的思维过程。

现行使用的小学数学教材，多以生活化情境展开教学。而数学内容本身应赋予的概念、计算、数学思想以及应用数学回归到现实情境中的强化，教材则以“问题提示语”方式呈现给师生自行探究归纳。部分教材内容编写为节省教材文本空间，无法全部体现以数学知识本身思考解决问题的过程步骤。

教材对分析问题时应该使用的“线段图”等数学多元表征工具来降低思维难度等要求，无法较为全面顾及。这样，导致部分教师怎样合理使用、有效解读教材的例题、习题，准确甄别数学学科本体知识，再现知识技能思维过程的可视化，对于教师能力素质提出了更高的专业要求。如图1是人教版数学四年级上册内容《笔算三位数乘两位数》。教材以问题为导向，要求学生补充未完成部分，启发学生主动思考明确算理归纳算法。而在实际教学中，教师针对教材，应形成以下“问题链”帮助学生理清思考路径：（1）数量关系：速度×时间=路程；（2）根据关系式列式；（3）估算结果，目的是检验笔算的结果；（4）竖式笔算，重点指导第二部分积的含义和书写；（5）整体积的表达；（6）总结算理；（7）强化练习，形成技能。所以，仅仅一页教材，教师在课前预设及课堂教学中如何去组织设计上述6个层层递进环节的合理呈现，是教师基本的教材解读基本功。

2.教师的传统教学方式与现代信息技术教学手段偏执一端。

课改前，许多一线老教师侧重于“数学”抽象为特点展开教学，仅以粉笔板书重要的思考步骤，缺少“说理”思考过程的呈现，学生感到数学难学。课改后，教材使用“情境化”方式展开教学，目的是搭好“脚手架”，便于学生理解、易学，部分教师教学中大量使用情境化的课件展现思考的过程、方法的课件，甚至出现“无课件无法教学”的状况，而教师在即时播放后学生头脑里无法留下印象，教师因强化课件使用而弱化“粉笔加黑板”具有的模仿示范功能。当前，部分青年教师没有执教课改前教材的经历，无法准确把握教材内容中学科知识，陷入片面的、形式化倾向较为严重的“情境化”，无法简捷进入“数学思维过程可视化”进程。而面对教材编写的趋于城市化的主题情境，乡村学校教师在教学中需要根据乡村学生生活环境去改变置换，而部分数学教师却生硬套用教材情境，缺少“数学教学内容知识”（即MPCK）可视化意识，无法真正领悟课程标准、教材编排意图。因此，从数学如何“合理可视化”层面引导教师由教材文本去识别解读、因地因材施教，是提高数学教学效果的关键。

3.学科教学中无法将教材中静态的思路变为动态的思维呈现。  

学科的构建，从“概念”为基本单元开始，要让教材成为师生具有指导意义的学科示范参考，促使对数学的“教”与“学”从“有路指引”到“学会上路”。首先，源于从“数学”角度，教材应清晰给出适合初等数学、又适合儿童认知的较为规范严谨、便于理解的概念、计算、应用等学科文本；其次，从“教育”角度，为师生“怎样教、怎样学”给予普适指导，在“教什么”基础上完善“怎样教”。引导学生在对数学问题的解决过程中，教师通过实物教具、图文转换、数形结合等教学策略，以降低层次的思维在学生大脑深处呈现相关联的具象来理解较高层次思维，让学生在头脑中留下相关数学知识、技能形成的动态图像，真正为师生的思维减负。如图2中，左边是人教版三年级下册数学广角《搭配（二）》的教材编写内容，教材中在初步使用图形、模型、符号等手段帮助学生初步理解组合的数学思想。而在我亲历在乡村学校执教同一内容的一节课，教师课前准备了精美的上装与下装的图片让学生操作，教师在课中逐一巡视指导，课件是教材图片搬到PPT，整节课中在黑板上仅板书课题“搭配中的学问”。其实，本节课最重要的是先定上装、再变下装，最后用抽象的符号连线，发现其中规律。因学生操作过程用语言表达较困难，所以用抽象的符号表示搭配过程，在学生头脑中留下动态映象。教师怎么将静态的图片变为课堂上“生动的有故事情节的”连续剧，是教师理解学科本质的核心要素。

三、数学教学中思维过程可视化的理论基础与依据

1.“学习迁移”理论(transferoflearning)。

学习迁移是一种学习对另一种学习的影响,广泛存在于知识、技能、情感态度和行为规范的学习过程中。学习迁移的思想，东方文化里可追溯到《周易·系辞上》“引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣”，即“触类旁通”，而西方文化中追溯到古希腊的柏拉图、亚里士多德时代重视几何学习的思潮。英国的洛克(JohnLocke,1632—1704)第一次运用“迁移”作为学习数学的重要思想方法之后,学习迁移是教育和心理研究领域的重要学术用语。研究和掌握数学学习迁移的实质、揭示规律，对数学课程和教学设计等具有重要意义。

2.“数学多元表征”理论。

美国数学教育家、教育心理学家莱什（Lesh）提出与数学学习有关的五种表征，即“实物、教具模型、图形、语言与符号。其中前三个表征较为具体，后两个表征较为抽象”。用图片方式呈现问题，或在文字题上附加图画，是教科书及实践中教师经常采用的一种解题表征方式，这种以视觉手段表征知识的方式，即称之为可视化表征，它能将文字题当中的数量关系可视化、具体化。问题表征指形成问题空间，包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作。问题表征形式上分成两种：一种是外在表征，即将问题以文字、数式、图表、模型和实验等具体的东西表示出来；另一种是内在表征，即问题在人脑中的思考路径。两者相互关联，内在表征是外在表征的基础，外在表征是内在表征的具体化和外显化。在数学问题解决中，表征问题是解决问题的前提条件，学习主体若要理解某个数学结构，就必须在这个数学结构与一个更易理解的数学结构之间建立一个映射，而表征就是这个映射过程。如何对问题情境进行准确、有效地表征，是顺利解决问题的关键。因为问题难度上的差异，一方面源于问题自身结构，另一方面源于主体在表征问题方式上的不同。研究表明：问题的适当形象表征与问题的成功解决之间存在正相关，不当表征与解题成绩呈负相关。

而荷兰学者VanHiele（范希尔）夫妇在提出“直观、分析、推理、演绎、严谨”数学学习的五个思维水平特征中，利用可视化的表征方法有降低思考层次的效果。在应用可视化的表征辅助学生理解问题的心智模式的建构过程，建立一个数量关系的直观表征心智模式，可以克服文字阅读的困难，有效地降低理解的思维层次，使得学生在“问题解决”的过程中增加体验成功的机会。

3.我国数学课标准要求“处理好直观与抽象”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》“前言”部分（二）“课程基本理念”指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系。”“教材编写建议”指出：“教材内容的呈现应体现过程性。（1）体现数学知识的形成过程。在设计一些新知识的学习活动时，教材可以展现“知识背景——知识形成——揭示联系”的过程。这个过程要有利于激发学习兴趣，理解数学实质，发展思考能力，了解知识之间的关联。（2）反映数学知识的应用过程。教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。”

4.我国数学教育学者的见解。

我国数学教育界有学者认为：凡数学中确立的各种基本概念、定义、公理、定理、模型、推理法则、证明方法等都可称为“数学抽象物”。学生在学习“抽象的”数学知识时，通常需要有降低抽象层次的思维过程，例如将新的概念与已有的知识建立关联，或者建立具体过程来重现抽象的结论。数学经验的迁移，不仅是由“具体上升到抽象”的基础，而且是有“抽象到具体”的必要中介。当学生受到数学新信息刺激时，数学经验在承受“选择、同化、顺应、预见”的这种往返动作过程中完成结果。在小学数学使用的不同表征（情境表征、图像表征、言语表征和符号表征等）转化降低思维层次经历抽象到具体的过程，即是教师在数学教学中以“思维过程可视化”实施有效教学。

现行各版本数学课标教材的编写，教学内容的呈现主要以与本单元或本课时有关的现实情境为起点，逐步抽象出数学的概念、原理、规律，学生理解后以解决现实问题加以应用。而在实际数学教学中，部分教师往往“浅入深出”，以成人理性思维代替儿童以形象思维为主的思考，加深了学生对数学知识的理解难度。如何让学生以形象类比的游戏、图式、板书、符号、文字等工具，让知识及思考过程以“视觉”方式通过适当媒介清晰可见，便于儿童理解数学，对教师的教学设计及技能提出了更高要求。

四、数学教学思维过程可视化的意义与价值

目前，国内“思维可视化”（思维导图或知识树形图）研究理论是重点关注学科知识点的结果。而“思维过程可视化”是在指出国内“思维可视化”理论重点关注“知识、技能结果”需要修正的基础上，首次提出“思维过程可视化”的教学主张：即师生的“教”与“学”应关注知识与技能发生的逻辑过程充分理解，过程与结果并重，在课堂真正发生构建学科系统的数学学习，促使教学有良好的教学效果。

关注思维过程可视化，促进数学教师在课前的教材解读及教学预设环节，对数学知识、技能及其形成过程给予关注，学生在课中能根据板书和课件再现相关学习的数学知识发生的全过程，在脑中留下印象。要引导教师“结合具体数学内容，以传统与现代的教学手段融合，将数学知识蕴含的思维过程进行可视化直观表达”的一般规律及教学路径，形成文本材料，对教师学科教学知识的丰富、提升，提供借鉴参考。

关注思维过程可视化，改变部分乡村教师无法将教学内容的思考过程恰当板书的倾向，部分城镇教师依靠课件教学而缺乏将课时核心内容的思维过程进行板书（不会板书）的现状。引导教师在课堂关注知识形成的思考路径“可视化”过程，让学生“看得见”思考的过程，促进教师教学技能熟练、教法自然，提升教学效果。同时，教师在数学教学中促进教师教材使用的二度开发，教师课堂有效呈现知识技能的形成过程、学生以具象关联理解抽象的数学知识，共同利用“思维过程可视化”有效学习具有现实意义。