“用字母表示数”一课的教学是学生代数思维的开端，也是学生代数思维的启蒙。简单朴素的知识后面是它对于催生学生一种新的思维方式的重要意义。这一课的教学成为很多教师的研究对象，频频在公开课中出现。学科知识的抽象性与儿童思维的具体性的矛盾，以及长期的算术思维模式必然成为学习用字母表示数中的障碍。因此，教师唯有立足儿童，占领发展学生思维的制高点，方能领略到学生代数思维拔节生长的风景。

一、教与学存在的主要问题分析

“用字母表示数”是学生系统学习用字母表示数的第一课。在此之前，学生有过用字母表示数的经历，如用字母表示某个特定的数，对于字母表示数的简洁、概括等优点，多少都有所体会。特别是通过运算律的学习，都经历了一个由具体到抽象的概括过程。这些都是在教学时教师应把握的学情。

但是，学生的知与作为数学学科知识的知是怎样的关系？这是教学首要回答的问题。不少教学试图从学生已有的知识出发，提出如下的两个问题展开教学：（1）对于字母表示数，你知道了些什么？（2）对于字母表示数，你还想了解什么？学生通常会罗列下面几个问题：（1）字母可表示什么样的数？（2）哪些字母可以表示数？（3）怎样表示数？（4）为什么要用字母表示数？一般的课堂也会围绕这些问题的解决而展开。从学生的所答和所问中我们对学情可作出更细致的分析：不难看出，学生对字母表示数的认识仅仅停留在表示“特定含义”“特定数值”这个层面，只是把它们当成某个特定物或数的“替代符号”。这实际还是算术思维方式。而字母表示数更具学科特质的运用更在于字母表示任意数，表示变量，因为这是代数学告别了旧时代，从旧的数的算术(logistiea num erosa)向类的算术(logistiea speeiosa)飞跃的一个重要标志。符号的价值，不仅表现在它的简洁，是文字表达的缩写，更在于字母表示的数可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性，是它的“可操作性”。看似一个简单的进步，人类历经了上百年的探索。学生学习的过程是不是如我们教师所期望的那样一帆风顺？相关的研究表明，大多数学生把字母当作具体的对象，而不能把字母看作变量。据英国CSMS 小组的研究，问n+5 与4 相加是多少时，68%的英国14 岁学生能回答是n+9。但是回答3n 与4 相加是多少时，就发生困难（仅有36%的学生回答正确）。可以看出，从学生的角度来看，他们认知和运算的数是确定的，用字母表示的数是不确定的，也因此用字母表示数以及进行运算是数学学习的一次飞跃。漠视学科知识的这些重要内涵，会将用字母表示数上成用字母代替数！

教学应从学生已有的知识和经验出发，这是教学的原则。但这并不意味着教学的终点仅为解决学生在学习之前的一些困惑。如果这样理解就是对学生视角的狭隘化。因为，学生在学习之前，对学习内容的了解更多只是一些零散的、表面的思维碎片，也可能是一些非本质的认识，这种情况下怎么能提出深刻的问题？学习的过程应该是引导学生通往一条未知道路的过程，在这条路上，会碰到哪些困惑，学习者是无法预见的。在学习过程中，随着学习的深入产生的问题才更深刻。因为这些问题更指向了学生真正的困惑，是学生没有经历过的，是学生固有的朴素的认识与学科知识的链接处，可能指向问题的本质与学生思维的断层。

然而，教学又应是预设的，教师应把握学生学习过程中产生的问题。记得一次听课，教师创设了一个猜年龄的情境。旁边的孩子犹豫了很久，很不自信地写出了父亲的年龄：b＋26，但很快又擦去了。课后，我问孩子原因。孩子回答：“我不知道b＋26究竟是多少？”这不是个案。不难想像，多年的数学学习经历，受算术思想的长期熏陶，学生习惯于关注具体可见的“结果”，具有强烈的“得数情结”，因此，要接受“含有字母的式子能够表示结果”已经是需要学生观念的更新，与原有的思维决裂，这是从算术思想向代数思想转变的一道很难跨越的“坎”。

通过以上的分析，我们便不难看出本课的教学上的两个问题：学生往往不能自觉地将字母视为广义的数，即如何实现“替代符号”向“任意之数”的飞跃？如何让学生接受含有字母的式子可既可表示关系，又可表示结果。这些，实质是算术思维向代数思维的转变。而有了这样的转变，才能让代数思维在学生的脑海中真正生根。

二、以培养发展学生的代数思维为目的教学用字母表示数

因此，与其说是学习用字母表示数的第一课，不如说是学生思维方式转变的开始。教学就应在儿童的立场，将数学学科知识转化为教育形态的知识。那么，教材是如何帮助学生实现从算术思维向代数思维转变的呢？教学中，教师如何用好教材？下面以修订前后的苏教版教材为例，通过两种版本教材中例1、例2的比较，谈谈相关的教学。

修订后教材的例1： 可以看出，情境相同，没有大的变化。通过摆三角形这个简单的活动，帮助学生明晰数量关系。从上面的分析我们可以看出，学生对于摆a个三角形用小棒的根数是a×3还是比较难理解的。不同的是，新教材中多了几句话。不难看出，这几句话，引导学生先用文字描述数量关系，而这又是从具体的数向用字母表示数量关系的过渡，从而减少了由具体之数到用字母表示任意之数之间的思维跨度。因此，在教学时，在学生依次用算式表示摆2、3、4个三角形需要的小棒根数后，教师要引导学生逐步进行抽象：你是怎么算出小棒根数的？除了摆1、2、3、4个三角形外，还可摆多少个？当学生说出不同的个数后，再引导：当不知道是多少个时，可以怎么表达？这是学生思维容易出现阻碍的地方。学生会有不同的表达，也可能会有学生用字母表示。教师则可用“做‘？’个三角形”等形式的提示以降低思维的跨度。再组织比较，不管怎么表示，你们用的这些字母、符号等都可以表示哪些数？摆a个三角形需要多少根？a×3表示什么？从而在比较中总结体会：1、2、3 、4这样的数都是确定的数，而a 这样的“数”表示的是不确定的数。这样表示有什么优点？让学生体会到用字母表示数、用含有字母的式子表示数量关系与用语言叙述相比所具有的抽象性、概括性和简洁性的特点。

再看例2，原教材中的例2在一些公开课中常成为重组的对象。学生根据前两题的形式与数量关系，容易依葫芦画瓢用字母式子表示合唱组的人数。再让学生体会到字母可表示一个具体的数，这时含有字母的式子就有一个确定的值。看似学生经历了从概括到具体的认识过程，但更多的学生不是用字母表示数而是用字母替代数。

也有一些教师上这一课的时候，将原来的情境换成魔盒或猜年龄的情境，魔盒进去的数与出来的数变化，但是它们之间的关系不变；父亲与儿子的年龄变化，但它们的年龄差不变。进去的数与父亲的年龄都在变化，无法用一个确定的数来表示，于是就有了用字母表示数的需要。像这样更换之后，更注重了让学生在变化中把握数量关系，以及怎样用合适的方式表示这种变化的关系，从而帮助他们在此过程中加深体验字母表示数的意义和特点。魔盒输入一个字母，输出一个含有字母的式子，还向学生暗示含有字母的式子可表示一个结果。同时，一种动态的情境，也更能激发学生探究的兴趣。

正是这样，修订后分教材也采用了一个数量关系不变，但其中的数量是变化的情境。因为教学用含有字母的式子表示数量关系，重点不是数量关系本身，而是让学生体会到字母可表示一定取值范围内的任意之数，用含有字母的式子即可表示数量之间的关系，也可表示一种结果。教学时，要让学生有更大的思维空间，可由学生自主表示：当行驶了一段路程后，用式子表示剩下的千米数，你想怎样表示？学生表示的方法大致会出现3种类型：一是具体数量型，即因题目中没有告诉已行的路程是多少，就自己想了一个数，不然不好做，这还是算术思维根深蒂固。如280－20。二是全部用字母表示，如a－b，即因为不知道数能与字母相减，所以虽然知道总千米数，但还是用字母进行表示。三是用含有字母的式子表示了，如280－b，因为刚学过字母代表未知数，不知已行的路程是多少千米，就可用字母表示。 

针对这三种有代表性的表示方法，可引导学生讨论：哪一种表示方法更合理？为什么用280－b来表示？字母可以像数一样进行计算吗？你见过字母像数进行加减乘除的运算吗？引导回忆用字母表示运算律。在此基础上，再次展开交流：可是它究竟是多少千米呢？把学生的疑惑暴露出来。在交流中，帮助学生进一步体会，因为已行的千米数b表示一个不确定的数，剩下的千米数也不能确定，只能用280－b来表示。学生最终接受了280－b表示的是一个结果，也就接受了含有字母的式子既表示数量关系，也表示结果的新的观念。新观念的确立，需要进行及时的巩固。接下来可安排一个小的即时练习。如，根据“妈妈比玲玲大28岁”这个非常熟悉的数量关系，把下面的表格填写完整。

不排除一些非常固执的学生犯嘀咕：a+28或280－b究竟等于多少？这种情况当然是很正常的，因为观念的转变常常需要一个过程的，这个过程所需要的时间的多少又常常因人而异，有些人会一帆风顺，而有些人在此过程中会经过多次否定，曲曲折折。

总之，用字母表示数的教学，必须以儿童的视角，直面儿童在学习新思维方式过程中的真实的思维困境，并给予积极的回应与关照，站在培养学生学科思维的制高点上，帮助学生实现认识数量关系过程中的一个飞跃，实现数学思维方式从算术到代数的过渡。